Как можно решить неравенство, в котором 9 в степени х минус 3 в степени х минус 6 больше нуля?

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией неравенство решение неравенства алгебра 11 класс 9 в степени х 3 в степени х математические неравенства алгебраические выражения Новый

Для решения неравенства 9^x - 3^x - 6 > 0, начнем с упрощения выражения. Обратите внимание, что 9 можно представить как 3 в квадрате. Таким образом, мы можем переписать неравенство следующим образом:

Шаг 1: Замена переменной

• Пусть y = 3^x. Тогда 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = y^2.

Теперь наше неравенство принимает вид:

y^2 - y - 6 > 0.

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

• Решим соответствующее квадратное уравнение: y^2 - y - 6 = 0.
• Для этого найдем дискриминант D:
• D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25.
• Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:
• y1 = (b + sqrt(D)) / (2a) = (1 + 5) / 2 = 3.
• y2 = (b - sqrt(D)) / (2a) = (1 - 5) / 2 = -2.

Таким образом, корни уравнения - это y1 = 3 и y2 = -2.

Шаг 3: Определение знака многочлена

• Теперь мы можем построить числовую прямую и отметить на ней корни:
• y = -2 и y = 3.
• Рассмотрим интервалы: (-∞, -2), (-2, 3) и (3, +∞).

Теперь проверим знак многочлена в каждом из интервалов:

• Для y < -2 (например, y = -3): (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0.
• Для -2 < y < 3 (например, y = 0): 0^2 - 0 - 6 = -6 < 0.
• Для y > 3 (например, y = 4): 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0.

Таким образом, многочлен положителен на интервалах (-∞, -2) и (3, +∞).

Шаг 4: Возврат к переменной x

• Теперь вернемся к переменной y = 3^x.
• Поскольку 3^x всегда положительно, мы можем игнорировать интервал (-∞, -2).
• Рассмотрим неравенство 3^x > 3, что эквивалентно x > 1.

Таким образом, окончательный ответ для неравенства 9^x - 3^x - 6 > 0:

x > 1.