Как можно решить неравенство (x^2-4x-3)(2x^2-3x+1)≥0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с многочленами методы решения неравенств графический метод неравенств Новый

Чтобы решить неравенство (x^2 - 4x - 3)(2x^2 - 3x + 1) ≥ 0, мы будем следовать определённым шагам. Рассмотрим каждый из множителей отдельно и найдем их корни.

Шаг 1: Найдем корни первого множителя x^2 - 4x - 3.

Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0:

• Корни находятся по формуле: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

В нашем случае a = 1, b = -4, c = -3. Подставим значения:

• Дискриминант D = (-4)² - 4 * 1 * (-3) = 16 + 12 = 28.
• Корни: x₁ = (4 + √28) / 2 = (4 + 2√7) / 2 = 2 + √7,
• x₂ = (4 - √28) / 2 = (4 - 2√7) / 2 = 2 - √7.

Шаг 2: Найдем корни второго множителя 2x^2 - 3x + 1.

Аналогично, используем ту же формулу:

• Здесь a = 2, b = -3, c = 1.

Находим дискриминант:

• D = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Корни:

• x₃ = (3 + √1) / (2 * 2) = (3 + 1) / 4 = 1,
• x₄ = (3 - √1) / (2 * 2) = (3 - 1) / 4 = 0.5.

Шаг 3: Определим знаки произведения на интервалах.

Теперь у нас есть корни: 2 - √7, 2 + √7, 0.5 и 1. Расставим их на числовой оси:

• 2 - √7 ≈ -0.645 (приблизительно),
• 0.5,
• 1,
• 2 + √7 ≈ 4.645 (приблизительно).

Теперь мы разбиваем числовую ось на интервалы:

• (-∞, 2 - √7),
• (2 - √7, 0.5),
• (0.5, 1),
• (1, 2 + √7),
• (2 + √7, +∞).

Шаг 4: Проверим знак произведения на каждом интервале.

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для (-∞, 2 - √7): x = -1 → (положительный)(положительный) = положительный.
• Для (2 - √7, 0.5): x = 0 → (отрицательный)(положительный) = отрицательный.
• Для (0.5, 1): x = 0.75 → (отрицательный)(положительный) = отрицательный.
• Для (1, 2 + √7): x = 3 → (положительный)(положительный) = положительный.
• Для (2 + √7, +∞): x = 5 → (положительный)(положительный) = положительный.

Шаг 5: Запишем ответ.

Поскольку мы ищем, где произведение больше или равно нулю, то включаем корни, где произведение равно нулю:

• Ответ: x ∈ (-∞, 2 - √7] ∪ [1, 2 + √7] ∪ (+∞).

Таким образом, мы нашли решение неравенства (x^2 - 4x - 3)(2x^2 - 3x + 1) ≥ 0.