Как можно решить неравенство: (x+5)(x+7) / (x-11) больше или равно 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенств алгебра 11 класс (x+5)(x+7) / (x-11) больше 0 неравенство с дробями методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство (x+5)(x+7) / (x-11) ≥ 0, следуем следующим шагам:

1. Определим нули числителя и знаменателя.
   • Числитель (x+5)(x+7) равен нулю, когда x+5=0 или x+7=0. Это дает нам:
   • x = -5
   • x = -7
   • Знаменатель (x-11) равен нулю, когда x-11=0, что дает:
   • x = 11
2. Определим знаки выражения на интервалах.
   • Теперь у нас есть три критических точки: x = -7, x = -5 и x = 11. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала:
   • (-∞, -7)
   • (-7, -5)
   • (-5, 11)
   • (11, +∞)
3. Проверим знак выражения в каждом интервале.
   • Для интервала (-∞, -7) возьмем, например, x = -8:
     • (-8+5)(-8+7) / (-8-11) = (-3)(-1) / (-19) = 3 / (-19) < 0
   • Для интервала (-7, -5) возьмем x = -6:
     • (-6+5)(-6+7) / (-6-11) = (-1)(1) / (-17) = -1 / (-17) > 0
   • Для интервала (-5, 11) возьмем x = 0:
     • (0+5)(0+7) / (0-11) = (5)(7) / (-11) = 35 / (-11) < 0
   • Для интервала (11, +∞) возьмем x = 12:
     • (12+5)(12+7) / (12-11) = (17)(19) / (1) = 323 > 0
4. Соберем результаты.
   • Знак выражения:
   • (-∞, -7) < 0
   • (-7, -5) > 0
   • (-5, 11) < 0
   • (11, +∞) > 0
   • Теперь определим, где выражение больше или равно нулю. Мы видим, что:
   • На интервале (-7, -5) и (11, +∞) выражение положительное.
   • В точках x = -7 и x = -5 числитель равен нулю, следовательно, выражение равно нулю в этих точках.
   • Точка x = 11 не включается, так как в ней выражение неопределено (знаменатель равен нулю).
5. Запишем ответ.
   • Решение неравенства: x ∈ [-7, -5] ∪ (11, +∞).

Таким образом, мы нашли все значения x, для которых данное неравенство выполняется.