Как можно решить неравенство x в степени lgx меньше или равно 100x?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенство x в степени lgx меньше 100x математические методы решения Новый

Для решения неравенства x в степени lgx меньше или равно 100x, начнем с его записи в более удобной форме:

Неравенство имеет вид:

x^(lg x) ≤ 100x

Теперь, чтобы упростить его, мы можем разделить обе стороны на x, при условии, что x > 0:

x^(lg x - 1) ≤ 100

Теперь мы можем анализировать выражение x^(lg x - 1). Для этого удобно рассмотреть функцию:

f(x) = lg x - 1

Теперь найдем, при каких значениях x функция f(x) будет меньше или равна 2, так как 100 = 10^2:

lg x - 1 ≤ 2

Решим это неравенство:

1. Переносим 1 в правую часть:
2. lg x ≤ 3
3. Теперь преобразуем к показательной форме:
4. x ≤ 10^3
5. Таким образом, x ≤ 1000.

Теперь мы также должны учесть, что x должно быть больше нуля, так как логарифм не определен для отрицательных чисел и нуля. Таким образом, мы имеем:

0 < x ≤ 1000

Теперь проверим границы. Подставим x = 1000:

1000^(lg(1000)) = 1000^3 = 10^9 и 100 * 1000 = 100000. Мы видим, что 10^9 > 100000, значит, x = 1000 не удовлетворяет неравенству.

Теперь подставим x = 1:

1^(lg(1)) = 1^0 = 1 и 100 * 1 = 100. Здесь 1 ≤ 100, значит, x = 1 удовлетворяет неравенству.

Теперь подставим x = 10:

10^(lg(10)) = 10^1 = 10 и 100 * 10 = 1000. Здесь 10 ≤ 1000, значит, x = 10 тоже удовлетворяет.

Таким образом, неравенство выполняется для всех x в интервале (0, 1000), но не включает 1000. В итоге мы можем записать ответ:

Ответ: (0, 1000)