Как можно решить неравенство x(x-3)(3x-2)/(2x-3)≤0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенство x(x-3)(3x-2)/(2x-3)≤0 методы решения неравенств графический метод неравенств Новый

Для решения неравенства x(x-3)(3x-2)/(2x-3)≤0 мы будем действовать поэтапно. Следуем этим шагам:

1. Найдём нули числителя и знаменателя.
• Числитель равен нулю, когда x(x-3)(3x-2) = 0. Это происходит, когда:
• x = 0
• x - 3 = 0 → x = 3
• 3x - 2 = 0 → x = 2/3
• Знаменатель равен нулю, когда 2x - 3 = 0 → x = 3/2.
2. Определим критические точки.
• Критические точки (где числитель или знаменатель равны нулю): x = 0, x = 2/3, x = 3/2, x = 3.
3. Построим числовую прямую и отметим критические точки.
• На числовой прямой у нас будут точки: -∞, 0, 2/3, 3/2, 3, +∞.
4. Определим знаки выражения на промежутках.
• Разделим числовую прямую на интервалы: (-∞, 0), (0, 2/3), (2/3, 3/2), (3/2, 3), (3, +∞).
• Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение x(x-3)(3x-2)/(2x-3):
• Для x = -1 (интервал (-∞, 0)): (-)(-)(-)/(-) = - (отрицательный)
• Для x = 1 (интервал (0, 2/3)): (+)(-)(-)/(+) = + (положительный)
• Для x = 1 (интервал (2/3, 3/2)): (+)(-)(-)/(+) = + (положительный)
• Для x = 2 (интервал (3/2, 3)): (+)(-)(+)/(+) = - (отрицательный)
• Для x = 4 (интервал (3, +∞)): (+)(-)(+)/(+) = - (положительный)
5. Составим итоговый знак на интервалах:
• (-∞, 0) → отрицательный
• (0, 2/3) → положительный
• (2/3, 3/2) → положительный
• (3/2, 3) → отрицательный
• (3, +∞) → положительный
6. Определим, где выражение меньше или равно нулю.
• Выражение меньше или равно нулю на интервалах: (-∞, 0] и [3/2, 3).
• Также учитываем точки, где выражение равно нулю: x = 0, x = 2/3, x = 3.
• Однако x = 3/2 нельзя включать, так как это точка, где знаменатель равен нулю.

Ответ: x ∈ (-∞, 0] ∪ [2/3, 3)