Как можно решить систему уравнений с такими равенствами: sin3x=sinx, sin3x=sin(90-2x), sin3x=cos5x и sin3x+sinx=2sin2x?

Алгебра 11 класс Системы тригонометрических уравнений решение системы уравнений алгебра 11 класс sin3x sinx sin(90-2x) cos5x sin3x+sinx 2sin²x Новый

Для решения системы уравнений с равенствами sin3x=sinx, sin3x=sin(90-2x), sin3x=cos5x и sin3x+sinx=2sin2x, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

1. Уравнение sin3x = sinx

Это уравнение можно решить, используя основное свойство синуса. Мы знаем, что если sinA = sinB, то:

• A = B + 2kπ, k ∈ Z
• A = π - B + 2kπ, k ∈ Z

Таким образом, для нашего случая:

• 3x = x + 2kπ, что дает 2x = 2kπ, отсюда x = kπ;
• 3x = π - x + 2kπ, что дает 4x = π + 2kπ, отсюда x = (π/4) + (kπ/2).

2. Уравнение sin3x = sin(90-2x)

Сначала преобразуем правую часть: sin(90-2x) = cos2x. Теперь у нас есть уравнение:

• sin3x = cos2x.

Используя то же свойство синуса, мы можем записать:

• 3x = 90° - 2x + 2kπ, что дает 5x = 90° + 2kπ, отсюда x = (90° + 2kπ)/5;
• 3x = 180° - (90° - 2x) + 2kπ, что дает 3x = 90° + 2x + 2kπ, отсюда x = 90° + 2kπ.

3. Уравнение sin3x = cos5x

Здесь также используем свойство:

• 3x = 90° - 5x + 2kπ, что дает 8x = 90° + 2kπ, отсюда x = (90° + 2kπ)/8;
• 3x = 180° - cos5x + 2kπ, что дает 3x = 90° + 5x + 2kπ, отсюда x = -90° + 2kπ.

4. Уравнение sin3x + sinx = 2sin2x

Это уравнение можно преобразовать, используя формулы сложения:

• sin3x = 2sin2x - sinx.

Здесь можно воспользоваться формулой для sin2x:

• 2sin2x = 2(2sinxcosx) = 4sinxcosx.

Таким образом, уравнение можно привести к:

• sin3x = 4sinxcosx - sinx.

Теперь мы можем решить это уравнение, приравнивая его к нулю и используя методы факторизации или подстановки.

Обобщение:

После нахождения всех возможных значений x из каждого уравнения, необходимо будет провести анализ на совместимость решений, чтобы найти общие значения x, которые удовлетворяют всем уравнениям системы.

Таким образом, мы можем решить данную систему уравнений, пройдя через каждое уравнение и находя значения x, которые подходят для всех равенств.