Как можно решить систему уравнений: sin(x) - cos(y) = 0 и sin²(x) + cos²(y) = 2?

Алгебра 11 класс Системы тригонометрических уравнений решение системы уравнений sin(x) - cos(y) = 0 sin²(x) + cos²(y) = 2 алгебра 11 класс методы решения уравнений

Для решения данной системы уравнений:

• sin(x) - cos(y) = 0
• sin²(x) + cos²(y) = 2

начнем с первого уравнения. Из него можно выразить cos(y):

1. Перепишем первое уравнение:
2. cos(y) = sin(x)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

1. Второе уравнение выглядит так:
2. sin²(x) + cos²(y) = 2
3. Подставим cos(y):
4. sin²(x) + (sin(x))² = 2
5. Теперь у нас получится:
6. sin²(x) + sin²(x) = 2
7. 2sin²(x) = 2

Теперь упростим это уравнение:

1. Разделим обе стороны на 2:
2. sin²(x) = 1

Теперь найдем sin(x):

1. sin(x) = 1 или sin(x) = -1

Рассмотрим оба случая:

1. Для sin(x) = 1:
• x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.
2. Для sin(x) = -1:
• x = 3π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Теперь найдем соответствующие значения cos(y) для каждого случая:

1. Если x = π/2 + 2kπ, то:
• cos(y) = sin(π/2 + 2kπ) = 1
• y = 0 + 2mπ, где m - любое целое число.
2. Если x = 3π/2 + 2kπ, то:
• cos(y) = sin(3π/2 + 2kπ) = -1
• y = π + 2mπ, где m - любое целое число.

Таким образом, мы получили следующие решения для системы уравнений:

• Для x = π/2 + 2kπ, y = 2mπ;
• Для x = 3π/2 + 2kπ, y = π + 2mπ.

Где k и m - любые целые числа. Это и есть общее решение заданной системы уравнений.

Чтобы решить систему уравнений:

• sin(x) - cos(y) = 0
• sin²(x) + cos²(y) = 2

начнем с первого уравнения.

Шаг 1: Извлечение выражения для cos(y)

Из первого уравнения можно выразить cos(y):

• cos(y) = sin(x)

Шаг 2: Подстановка во второе уравнение

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

• sin²(x) + cos²(y) = 2

Подставляем cos(y):

• sin²(x) + (sin(x))² = 2

Это можно упростить:

• 2sin²(x) = 2

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь делим обе стороны на 2:

• sin²(x) = 1

Теперь извлекаем корень:

• sin(x) = ±1

Шаг 4: Нахождение значений x

Решим это уравнение:

• sin(x) = 1: x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число
• sin(x) = -1: x = 3π/2 + 2kπ, где k - любое целое число

Шаг 5: Нахождение значений y

Теперь, зная значения sin(x), мы можем найти cos(y):

• Если sin(x) = 1, то cos(y) = 1, следовательно, y = 0 + 2mπ, где m - любое целое число.
• Если sin(x) = -1, то cos(y) = -1, следовательно, y = π + 2mπ, где m - любое целое число.

Заключение

Таким образом, решения системы уравнений:

• Для sin(x) = 1: x = π/2 + 2kπ, y = 0 + 2mπ
• Для sin(x) = -1: x = 3π/2 + 2kπ, y = π + 2mπ

Это и есть общее решение системы уравнений. Не забывайте, что k и m могут принимать любые целые значения, что дает бесконечно много решений.