Как найти решение для системы уравнений: sin x + sin y = 1 и x + y = π?

Алгебра 11 класс Системы тригонометрических уравнений система уравнений решение системы sin x sin y x + y = π алгебра 11 класс методы решения уравнений Новый

Для решения системы уравнений sin x + sin y = 1 и x + y = π мы можем воспользоваться методом подстановки и свойствами тригонометрических функций. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

1. Запишем второе уравнение: из уравнения x + y = π мы можем выразить одну переменную через другую. Например, выразим y:
• y = π - x
2. Подставим выражение для y в первое уравнение:
• Подставляем: sin x + sin(π - x) = 1
• Используем свойство синуса: sin(π - x) = sin x.
• Тогда уравнение становится: sin x + sin x = 1, что упрощается до 2sin x = 1.
3. Решаем уравнение:
• Делим обе стороны на 2: sin x = 1/2.
• Теперь найдем значения x, для которых sin x = 1/2. Это происходит в следующих случаях:
• x = π/6 + 2kπ, где k - целое число (так как синус периодичен с периодом 2π).
• x = 5π/6 + 2kπ.
4. Найдем соответствующие значения y: подставим найденные значения x обратно в уравнение y = π - x:
• Если x = π/6, то y = π - π/6 = 5π/6.
• Если x = 5π/6, то y = π - 5π/6 = π/6.

Таким образом, мы получили два решения для системы уравнений:

• (π/6, 5π/6)
• (5π/6, π/6)

Это и есть все решения данной системы уравнений.