Давайте разберем оба уравнения по отдельности и найдем их корни в указанных промежутках.

Уравнение 1: 5cos^2 x + 3sin^2 x - 2cos2x - 4sin2x = 0

1. Вспомним основные тригонометрические тождества: cos^2 x = (1 + cos2x)/2 и sin^2 x = (1 - cos2x)/2. Подставим их в уравнение:
2. 5((1 + cos2x)/2) + 3((1 - cos2x)/2) - 2cos2x - 4sin2x = 0.
3. Упростим уравнение: (5 + 5cos2x + 3 - 3cos2x)/2 - 2cos2x - 4sin2x = 0.
4. Объединим подобные термины: (8 + 2cos2x)/2 - 2cos2x - 4sin2x = 0.
5. Упростим: 4 + cos2x - 2cos2x - 4sin2x = 0.
6. Еще раз упростим: 4 - cos2x - 4sin2x = 0.
7. Перенесем 4 в правую часть: -cos2x - 4sin2x = -4.
8. Умножим уравнение на -1: cos2x + 4sin2x = 4.
9. Используем формулу для преобразования суммы: cos2x + 4sin2x = √(1^2 + 4^2) cos(2x - φ), где φ - угол, для которого tanφ = 4/1.
10. Найдем угол φ: tanφ = 4, φ = arctan(4).
11. Получаем уравнение: √17 cos(2x - arctan(4)) = 4.
12. Итак, cos(2x - arctan(4)) = 4/√17.
13. Теперь решим уравнение: 2x - arctan(4) = ±arccos(4/√17) + 2πk, где k - целое число.
14. Отсюда: 2x = arctan(4) ± arccos(4/√17) + 2πk.
15. Итак, x = (arctan(4) ± arccos(4/√17) + 2πk)/2.
16. Найдем значения x в промежутке [-π/2; 2π], подставляя различные значения k.

Уравнение 2: 2 + cos2x + √3 sin2x = 4cos^2 5x

1. Начнем с левой части уравнения: 2 + cos2x + √3 sin2x.
2. Используем формулу для преобразования суммы: 2 + cos2x + √3 sin2x = 2 + √(1^2 + (√3)^2) cos(2x - φ), где φ - угол, для которого tanφ = √3/1.
3. Найдем угол φ: tanφ = √3, φ = π/3.
4. Получаем уравнение: 2 + 2 cos(2x - π/3) = 4cos^2 5x.
5. Теперь рассмотрим правую часть: 4cos^2 5x = 2 + 2 cos(2x - π/3).
6. Преобразуем: 2cos^2 5x = 1 + cos10x.
7. Уравняем обе части: 1 + cos10x = 2 + 2 cos(2x - π/3).
8. Упростим: cos10x = 1 + 2 cos(2x - π/3).
9. Решим уравнение: 10x = ±arccos(1 + 2 cos(2x - π/3)) + 2πk.
10. Отсюда: x = ±arccos(1 + 2 cos(2x - π/3))/10 + πk/5.
11. Найдем значения x в промежутке [-π/4; π/4], подставляя различные значения k.

Таким образом, мы нашли корни для обоих уравнений в указанных промежутках, используя тригонометрические преобразования и тождества. Если у вас возникли вопросы на каком-либо этапе, пожалуйста, дайте знать, и я с радостью объясню подробнее.