Как можно решить следующую систему уравнений:

1. x^3 + y^3 = 28,
2. xy^2 + x^2y = 12?

Алгебра 11 класс Системы нелинейных уравнений решение системы уравнений алгебра 11 класс x^3 + y^3 = 28 xy^2 + x^2y = 12 методы решения уравнений Новый

Для решения данной системы уравнений:

• Первое уравнение: x^3 + y^3 = 28
• Второе уравнение: xy^2 + x^2y = 12

начнем с преобразования второго уравнения. Мы можем вынести общий множитель:

xy^2 + x^2y = xy(y + x) = 12

Теперь у нас есть:

• xy(y + x) = 12
• x^3 + y^3 = 28

Далее, мы можем использовать формулу для суммы кубов:

x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

Таким образом, мы можем выразить x^3 + y^3 через x + y и xy. Обозначим:

• S = x + y
• P = xy

Тогда:

x^3 + y^3 = S(S^2 - 3P)

Подставляем это в первое уравнение:

S(S^2 - 3P) = 28

Теперь у нас есть:

• S(S^2 - 3P) = 28
• P(S) = 12 / S

Теперь подставим P в первое уравнение:

S(S^2 - 3(12/S)) = 28

Упростим это уравнение:

S^3 - 36 = 28

Таким образом, получаем:

S^3 = 64

Отсюда:

S = 4

Теперь, зная S, найдем P:

P = 12 / S = 12 / 4 = 3

Теперь у нас есть значения S и P:

• S = 4
• P = 3

Теперь мы можем составить квадратное уравнение, используя S и P:

t^2 - St + P = 0

Подставляем значения S и P:

t^2 - 4t + 3 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

t1 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3

t2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

Таким образом, мы можем сказать, что:

• x = 3, y = 1
• или x = 1, y = 3

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения обоим уравнениям:

1. Для x = 3, y = 1:

• x^3 + y^3 = 3^3 + 1^3 = 27 + 1 = 28 (выполняется)
• xy^2 + x^2y = 3 * 1^2 + 3^2 * 1 = 3 + 9 = 12 (выполняется)

2. Для x = 1, y = 3:

• x^3 + y^3 = 1^3 + 3^3 = 1 + 27 = 28 (выполняется)
• xy^2 + x^2y = 1 * 3^2 + 1^2 * 3 = 9 + 3 = 12 (выполняется)

Таким образом, обе пары (3, 1) и (1, 3) являются решениями данной системы уравнений.