Как можно решить тригонометрическое неравенство:

tg(2x – π/3) – 1 ≥ 0

Алгебра 11 класс Тригонометрические неравенства тригонометрическое неравенство решение неравенства алгебра 11 класс tg(2x – π/3) – 1 ≥ 0 математические методы неравенства в алгебре Новый

Чтобы решить тригонометрическое неравенство tg(2x – π/3) – 1 ≥ 0, следуем следующему алгоритму:

1. Переписываем неравенство:

   tg(2x – π/3) ≥ 1

2. Находим, при каких значениях аргумента тангенс равен 1:

   tg(α) = 1, когда α = π/4 + kπ, где k – любое целое число.

3. Записываем общее решение для нашего аргумента:

   2x - π/3 = π/4 + kπ

   Теперь решим это уравнение относительно x:

4. Приводим уравнение к общему виду:

   2x = π/4 + kπ + π/3

   Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 3 – это 12:

   • π/4 = 3π/12
   • π/3 = 4π/12

   Теперь уравнение выглядит так:

   2x = 3π/12 + 4π/12 + kπ

   2x = 7π/12 + kπ

5. Делим обе стороны на 2:

   x = 7π/24 + kπ/2

6. Теперь определим интервал, в котором выполняется неравенство:

   Мы знаем, что тангенс положителен в первом и третьем квадранте. То есть, необходимо определить, где 2x – π/3 попадает в эти квадранты.

   Тангенс положителен, когда:

   • 2x – π/3 ∈ (0, π/2) → 0 < 2x < π/2 + π/3
   • 2x – π/3 ∈ (π, 3π/2) → π < 2x < 3π/2 + π/3
7. Решаем каждое из этих неравенств:
   1. Для первого неравенства:

      0 < 2x < π/2 + π/3

      0 < 2x < 5π/6

      0 < x < 5π/12

   2. Для второго неравенства:

      π < 2x < 3π/2 + π/3

      π < 2x < 11π/6

      π/2 < x < 11π/12

8. Объединяем решения:

   Таким образом, окончательное решение будет:

   x ∈ (0, 5π/12) ∪ (π/2, 11π/12)

Это и есть решение данного тригонометрического неравенства!