Как можно решить уравнение 12cos^2(x) + 20sin(x) - 19 = 0?

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos и sin уравнение с косинусом уравнение с синусом Новый

Для решения уравнения 12cos^2(x) + 20sin(x) - 19 = 0, сначала нужно преобразовать его в более удобную форму. Мы знаем, что cos^2(x) можно выразить через sin(x) с помощью тригонометрической тождества: cos^2(x) = 1 - sin^2(x). Подставим это в уравнение:

• 12(1 - sin^2(x)) + 20sin(x) - 19 = 0

Теперь раскроем скобки:

• 12 - 12sin^2(x) + 20sin(x) - 19 = 0

Соберем все члены уравнения:

• -12sin^2(x) + 20sin(x) + (12 - 19) = 0
• -12sin^2(x) + 20sin(x) - 7 = 0

Теперь умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при sin^2(x):

• 12sin^2(x) - 20sin(x) + 7 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

• ax^2 + bx + c = 0, где a = 12, b = -20, c = 7.

Формула для нахождения корней уравнения:

• sin(x) = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Теперь подставим наши значения a, b и c:

• D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 * 12 * 7
• D = 400 - 336 = 64
• Теперь подставим D в формулу:
• sin(x) = (20 ± sqrt(64)) / (2 * 12)
• sin(x) = (20 ± 8) / 24

Теперь найдем два возможных значения для sin(x):

• sin(x) = (20 + 8) / 24 = 28 / 24 = 7/6 (это значение не подходит, так как sin(x) не может превышать 1)
• sin(x) = (20 - 8) / 24 = 12 / 24 = 1/2

Теперь мы знаем, что sin(x) = 1/2. Решим это уравнение:

• x = arcsin(1/2)
• Это значение соответствует углам: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, окончательные решения уравнения 12cos^2(x) + 20sin(x) - 19 = 0:

• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ