Как решить уравнения, используя метод введения новой переменной и метод понижения степени:

1. sin^2 (2x) + 6sin 2x - 7 = 0
2. 2sin^2 (3x) - cos 4x = 1

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений алгебра 11 класс решение уравнений метод введения переменной метод понижения степени тригонометрические уравнения синус косинус математические методы уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

1) Решение уравнения sin^2(2x) + 6sin(2x) - 7 = 0

Для решения этого уравнения мы будем использовать метод введения новой переменной. Давайте обозначим:

• sin(2x) = m

Тогда уравнение преобразуется в:

m^2 + 6m - 7 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

m = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Здесь a = 1, b = 6, c = -7. Подставим значения:

m = (-6 ± √(6^2 - 4 * 1 * (-7))) / (2 * 1)

m = (-6 ± √(36 + 28)) / 2

m = (-6 ± √64) / 2

m = (-6 ± 8) / 2

Теперь найдем два возможных значения для m:

• m1 = (2) / 2 = 1
• m2 = (-14) / 2 = -7 (не подходит, так как sin(2x) не может быть меньше -1)

Таким образом, мы имеем только одно подходящее значение:

sin(2x) = 1

Теперь найдем 2x:

2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z

Отсюда находим x:

x = π/4 + πn, n ∈ Z

Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z

2) Решение уравнения 2sin^2(3x) - cos(4x) = 1

Для начала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Заменим cos(4x) на 1 - 2sin^2(2x), так как cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x) = 1 - 2sin^2(2x):

2sin^2(3x) - (1 - 2sin^2(2x)) = 1

Упрощаем уравнение:

2sin^2(3x) + 2sin^2(2x) - 1 = 0

Теперь обозначим:

• sin(3x) = a
• sin(2x) = b

Тогда уравнение можно записать как:

2a^2 + 2b^2 - 1 = 0

Теперь используем соотношение sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x) и sin(2x) = 2sin(x)cos(x) для дальнейшего упрощения.

Решим это уравнение, подставив значения для a и b. Однако, для нахождения корней нам необходимо решить систему уравнений:

• 1) 2sin^2(3x) = 1 - 2sin^2(2x)
• 2) sin(3x) = 0
• 3) sin(2x) = 0

Решая каждое из этих уравнений, мы получаем:

• sin(3x) = 0: 3x = πn, x = πn/3, n ∈ Z
• sin(2x) = 0: 2x = πm, x = πm/2, m ∈ Z

Ответ: x = πn/3, n ∈ Z и x = πm/2, m ∈ Z