Как можно решить уравнение 3*sin^2(x) - 4*sin(x)*cos(x) + 5*cos^2(x) = 2?

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус и косинус математические задачи уравнения с синусом уравнения с косинусом алгебраические методы решение тригонометрических уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 3*sin^2(x) - 4*sin(x)*cos(x) + 5*cos^2(x) = 2, давайте начнем с преобразования его в более удобную форму.

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду

Переносим 2 на левую сторону уравнения:

3*sin^2(x) - 4*sin(x)*cos(x) + 5*cos^2(x) - 2 = 0

Шаг 2: Используем тригонометрические тождества

Заменим sin^2(x) через cos^2(x): sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Подставим это в уравнение:

• 3*(1 - cos^2(x)) - 4*sin(x)*cos(x) + 5*cos^2(x) - 2 = 0

Раскроем скобки:

• 3 - 3*cos^2(x) - 4*sin(x)*cos(x) + 5*cos^2(x) - 2 = 0

Упрощаем выражение:

• (-3*cos^2(x) + 5*cos^2(x)) - 4*sin(x)*cos(x) + 1 = 0
• 2*cos^2(x) - 4*sin(x)*cos(x) + 1 = 0

Шаг 3: Вводим новую переменную

Теперь давайте введем новую переменную: t = cos(x). Тогда sin(x) = sqrt(1 - t^2). Подставим это в уравнение:

• 2*t^2 - 4*sqrt(1 - t^2)*t + 1 = 0

Шаг 4: Упростим уравнение

Это уравнение может быть довольно сложным для решения, поэтому лучше всего будет решить его численно или графически. Однако, если мы оставим его в таком виде, мы можем использовать численные методы для нахождения корней.

Шаг 5: Найдем корни

Для нахождения корней можно использовать графический метод или численные методы, такие как метод Ньютона, или просто подставить различные значения t от -1 до 1 и найти приближенные корни.

Шаг 6: Найдем значения x

После нахождения корней t, мы можем вернуть косинус обратно в угол:

• x = arccos(t)
• или x = 2π - arccos(t) (в зависимости от квадранта)

Таким образом, мы можем получить все возможные решения уравнения. Не забудьте учесть периодичность тригонометрических функций, добавляя 2πk, где k - целое число.

Если у вас есть доступ к графическому калькулятору или программному обеспечению, вы можете использовать его для более точного нахождения корней и проверки ваших решений.