Как можно решить уравнение 16*9^x - 25*12^x + 9*16^x = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 16*9^x 25*12^x 9*16^x методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 16*9^x - 25*12^x + 9*16^x = 0, начнем с упрощения выражений. Мы можем заметить, что 16 и 9 могут быть представлены как степени:

• 16 = 4^2 = (2^2)^2 = 2^4
• 9 = 3^2
• 12 = 4 * 3 = 2^2 * 3
• 16^x = (2^4)^x = 2^(4x)
• 9^x = (3^2)^x = 3^(2x)
• 12^x = (2^2 * 3)^x = 2^(2x) * 3^x

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

16*9^x = 16 * 3^(2x) = 2^4 * 3^(2x)

25*12^x = 25 * (2^(2x) * 3^x) = 25 * 2^(2x) * 3^x

9*16^x = 9 * 2^(4x) = 3^2 * 2^(4x)

Теперь у нас есть:

2^4 * 3^(2x) - 25 * 2^(2x) * 3^x + 3^2 * 2^(4x) = 0

Давайте введем новые переменные для упрощения. Обозначим:

• u = 2^(2x)
• v = 3^x

Тогда уравнение можно переписать так:

16 * v^2 - 25 * u * v + 9 * u^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно переменной v. Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

v = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где:

• a = 16
• b = -25u
• c = 9u^2

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-25u)^2 - 4 * 16 * 9u^2 = 625u^2 - 576u^2 = 49u^2

Теперь найдем корни:

v = (25u ± √(49u^2)) / (2 * 16) = (25u ± 7u) / 32

Это дает два случая:

1. v1 = (32u) / 32 = u
2. v2 = (18u) / 32 = (9u) / 16

Теперь вернемся к переменным u и v:

1. Для первого случая v1 = u:

3^x = 2^(2x)

Это уравнение можно решить, взяв логарифм:

x * log(3) = 2x * log(2)

=> x * (log(3) - 2 * log(2)) = 0

Отсюда x = 0 или log(3) = 2 * log(2), что не имеет решения.

2. Для второго случая v2 = (9u) / 16:

3^x = (9/16) * 2^(2x)

Теперь также возьмем логарифм:

log(3^x) = log((9/16) * 2^(2x))

x * log(3) = log(9/16) + 2x * log(2)

=> x * log(3) - 2x * log(2) = log(9/16)

x * (log(3) - 2 * log(2)) = log(9/16)

=> x = log(9/16) / (log(3) - 2 * log(2))

Таким образом, мы получили два корня, но в основном интересует только один из них:

Ответ: x = log(9/16) / (log(3) - 2 * log(2))