Как можно решить уравнение 2 sin² x + 3 cos x 3 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус косинус уравнение с синусом уравнение с косинусом метод решения уравнений Новый

Для решения уравнения 2 sin² x + 3 cos x = 0, сначала мы можем использовать основное тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус:

sin² x + cos² x = 1

Из этого тождества мы можем выразить sin² x через cos x:

sin² x = 1 - cos² x

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

2(1 - cos² x) + 3 cos x = 0

Раскроем скобки:

2 - 2 cos² x + 3 cos x = 0

Теперь приведем все члены уравнения к стандартному виду:

-2 cos² x + 3 cos x + 2 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2 cos² x - 3 cos x - 2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos x. Обозначим cos x как y:

2y² - 3y - 2 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 2, b = -3, c = -2.

Сначала найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

Теперь найдем корни:

y₁ = (3 + √25) / (2 * 2) = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2

y₂ = (3 - √25) / (2 * 2) = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -0.5

Теперь мы нашли два значения для cos x:

• cos x = 2
• cos x = -0.5

Однако, значение cos x = 2 не имеет решения, так как косинус может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.

Теперь рассмотрим второе значение:

cos x = -0.5

Это значение косинуса соответствует углам, которые можно найти в тригонометрической окружности. В частности, это:

• x = 120° + 360°k, где k - любое целое число (это соответствует первой позиции в II четверти)
• x = 240° + 360°k, где k - любое целое число (это соответствует первой позиции в III четверти)

Таким образом, общее решение уравнения будет выглядеть следующим образом:

x = 120° + 360°k и x = 240° + 360°k, где k - любое целое число.