Как можно решить уравнение 2√(x - 2) + 2 = √(3x + 1)?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями уравнение алгебра решение квадратный корень 11 класс математические задачи техника решения примеры уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 2√(x - 2) + 2 = √(3x + 1), давайте следовать пошагово:

1. Изолируем один из корней. Для этого вычтем 2 из обеих сторон уравнения:
• 2√(x - 2) = √(3x + 1) - 2
2. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат. Это позволит избавиться от квадратного корня:
• (2√(x - 2))^2 = (√(3x + 1) - 2)^2
• 4(x - 2) = (3x + 1) - 4√(3x + 1) + 4
3. Упростим уравнение. Раскроем скобки и соберем все члены:
• 4x - 8 = 3x + 5 - 4√(3x + 1)
• 4x - 3x = 5 + 8 - 4√(3x + 1)
• x = 13 - 4√(3x + 1)
4. Изолируем корень. Переносим 4√(3x + 1) влево:
• 4√(3x + 1) = 13 - x
5. Возводим обе стороны в квадрат еще раз. Это снова уберет корень:
• (4√(3x + 1))^2 = (13 - x)^2
• 16(3x + 1) = 169 - 26x + x^2
6. Упрощаем уравнение. Раскроем скобки:
• 48x + 16 = 169 - 26x + x^2
• 0 = x^2 - 74x + 153
7. Решаем квадратное уравнение. Используем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-74)^2 - 4*1*153 = 5476 - 612 = 4864
• Корни уравнения: x = (74 ± √4864) / 2
8. Находим корни: Вычисляем √4864 и подставляем в формулу:
• √4864 ≈ 69.7
• x1 ≈ (74 + 69.7) / 2 ≈ 71.85
• x2 ≈ (74 - 69.7) / 2 ≈ 2.15
9. Проверяем корни. Подставляем найденные значения в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они не являются extraneous roots (ложными корнями):
• Для x1 = 71.85: 2√(71.85 - 2) + 2 = √(3*71.85 + 1) и проверяем равенство.
• Для x2 = 2.15: 2√(2.15 - 2) + 2 = √(3*2.15 + 1) и проверяем равенство.

Таким образом, мы получаем два возможных корня: x1 и x2. Но важно помнить, что после возведения в квадрат могут появиться ложные корни, поэтому проверка необходима.