Как решить уравнение: 2x^2 + 3x + 9 - 5√(2x^2 + 3x + 9) - 6 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями уравнение алгебра решение уравнения 11 класс квадратное уравнение математические задачи алгебраические выражения Новый

Для решения уравнения 2x^2 + 3x + 9 - 5√(2x^2 + 3x + 9) - 6 = 0 сначала упростим его.

1. Перепишем уравнение:

2x^2 + 3x + 3 - 5√(2x^2 + 3x + 9) = 0.

2. Обозначим y = 2x^2 + 3x + 9. Тогда уравнение примет вид:

y - 5√y - 6 = 0.

3. Теперь выразим корень из y:

y - 6 = 5√y.

4. Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(y - 6)^2 = (5√y)^2.

5. Раскроем скобки:

y^2 - 12y + 36 = 25y.

6. Переносим все члены в одну сторону:

y^2 - 12y - 25y + 36 = 0.

y^2 - 37y + 36 = 0.

7. Теперь решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4*1*36 = 1369 - 144 = 1225.

8. Найдем корни уравнения по формуле:

y1,2 = ( -b ± √D ) / 2a.

y1 = (37 + √1225) / 2 = (37 + 35) / 2 = 36 / 2 = 18.

y2 = (37 - √1225) / 2 = (37 - 35) / 2 = 2 / 2 = 1.

9. Теперь мы нашли значения y. Напомним, что y = 2x^2 + 3x + 9. Подставим найденные значения:

• Для y = 18:
1. 2x^2 + 3x + 9 = 18.
2. 2x^2 + 3x - 9 = 0.
3. Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:
4. D = 3^2 - 4*2*(-9) = 9 + 72 = 81.
5. Корни: x1 = ( -3 + √81 ) / 4 = ( -3 + 9 ) / 4 = 6 / 4 = 1.5.
6. x2 = ( -3 - √81 ) / 4 = ( -3 - 9 ) / 4 = -12 / 4 = -3.
• Для y = 1:
1. 2x^2 + 3x + 9 = 1.
2. 2x^2 + 3x + 8 = 0.
3. Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:
4. D = 3^2 - 4*2*8 = 9 - 64 = -55.
5. Так как дискриминант отрицательный, корней нет.

10. Таким образом, мы нашли два корня для уравнения:

x1 = 1.5 и x2 = -3.

11. Проверяем найденные корни, подставляя их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они подходят.

Ответ: x = 1.5 и x = -3.