Как можно решить уравнение 3 cos^2x - 5sinx - 1 = 0 в пределах отрезка [-3π; -2π]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения cos и sin отрезок [-3π; -2π] математические методы графический метод аналитическое решение корни уравнения изучение тригонометрии Новый

Чтобы решить уравнение 3 cos^2x - 5sinx - 1 = 0 в пределах отрезка [-3π; -2π], начнем с преобразования уравнения. Мы знаем, что cos^2x = 1 - sin^2x, поэтому можем выразить cos^2x через sinx.

Подставим это в уравнение:

• 3(1 - sin^2x) - 5sinx - 1 = 0

Теперь упростим уравнение:

• 3 - 3sin^2x - 5sinx - 1 = 0
• -3sin^2x - 5sinx + 2 = 0

Умножим всё уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

• 3sin^2x + 5sinx - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Мы можем решить его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

• ax^2 + bx + c = 0, где a = 3, b = 5, c = -2.

Для нахождения корней используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49.

Теперь находим корни:

• sinx1 = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 7) / 6 = 2/6 = 1/3,
• sinx2 = (-b - √D) / (2a) = (-5 - 7) / 6 = -12/6 = -2.

Теперь у нас есть два значения для sinx: 1/3 и -2.

Так как sinx должен находиться в диапазоне от -1 до 1, значение -2 не подходит. Рассмотрим только sinx = 1/3.

Теперь найдем x для sinx = 1/3. Это значение можно найти с помощью обратной функции синуса:

• x = arcsin(1/3).

Однако, поскольку мы ищем решения в пределах [-3π; -2π], нам нужно учесть, что синус является периодической функцией с периодом 2π. Таким образом, общее решение будет:

• x = arcsin(1/3) + 2kπ и x = π - arcsin(1/3) + 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем конкретные значения для k, чтобы попасть в нужный отрезок [-3π; -2π].

Для x = arcsin(1/3):

• k = -2: x = arcsin(1/3) - 4π, (это вне отрезка),
• k = -1: x = arcsin(1/3) - 2π, (это также вне отрезка),
• k = 0: x = arcsin(1/3), (это значение в пределах 0, не подходит).

Теперь для x = π - arcsin(1/3):

• k = -2: x = π - arcsin(1/3) - 4π = -3π + arcsin(1/3), (это значение в пределах отрезка),
• k = -1: x = π - arcsin(1/3) - 2π = -π - arcsin(1/3), (это значение также в пределах отрезка).

Теперь подытожим:

• Первое решение: x = -3π + arcsin(1/3),
• Второе решение: x = -π - arcsin(1/3).

Таким образом, у нас есть два решения уравнения 3 cos^2x - 5sinx - 1 = 0 в пределах отрезка [-3π; -2π].

1 2 3 4 5