Как можно решить уравнение: 3 в степени х + 3 плюс 3 в степени х равно 7 в степени х + 1 плюс 5 умноженное на 7 в степени х?

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями уравнение 3 в степени х решение уравнения алгебра 11 класс уравнения с экспонентами математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 3^x + 3 + 3^x = 7^{x+1} + 5 * 7^x начнем с упрощения обеих сторон уравнения.

1. Объединим подобные члены с левой стороны:

• Левая сторона: 3^x + 3^x + 3 = 2 * 3^x + 3.

2. Теперь перепишем правую сторону. Заметим, что 7^{x+1} = 7 * 7^x, поэтому:

• Правая сторона: 7 * 7^x + 5 * 7^x = (7 + 5) * 7^x = 12 * 7^x.

Теперь у нас есть упрощенное уравнение:

2 3^x + 3 = 12 7^x

3. Переносим все члены на одну сторону:

2 3^x - 12 7^x + 3 = 0

4. Теперь мы можем решить это уравнение, используя метод подбора или графический метод. Для этого рассмотрим, что 3^x и 7^x — это экспоненты, и их поведение различается в зависимости от значения x.

5. Можно попробовать подставить некоторые значения x:

• Для x = 0: 2 * 3^0 + 3 = 2 * 1 + 3 = 5 и 12 * 7^0 = 12 * 1 = 12. Не равно.
• Для x = 1: 2 * 3^1 + 3 = 2 * 3 + 3 = 6 + 3 = 9 и 12 * 7^1 = 12 * 7 = 84. Не равно.
• Для x = 2: 2 * 3^2 + 3 = 2 * 9 + 3 = 18 + 3 = 21 и 12 * 7^2 = 12 * 49 = 588. Не равно.
• Для x = 3: 2 * 3^3 + 3 = 2 * 27 + 3 = 54 + 3 = 57 и 12 * 7^3 = 12 * 343 = 4116. Не равно.

6. Поскольку значения x растут, 7^x растет быстрее, чем 3^x. Это указывает на то, что уравнение может иметь решение при отрицательных значениях x.

7. Попробуем подставить x = -1:

• Левая сторона: 2 * 3^{-1} + 3 = 2 * (1/3) + 3 = 2/3 + 3 = 2/3 + 9/3 = 11/3.
• Правая сторона: 12 * 7^{-1} = 12 * (1/7) = 12/7.

8. Сравниваем значения:

• 11/3 = 3.67, а 12/7 = 1.71. Значения не равны.

9. Продолжая подбирать значения, можно найти, что решение уравнения x ≈ -0.5 может быть близким, но для точного решения лучше использовать численные методы или графический калькулятор.

Таким образом, уравнение можно решить численно, и приблизительное значение x будет около -0.5.