Как решить уравнение: (1/4)^х - 3*(1/2)^х + 2 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями решение уравнения алгебра 11 класс (1/4)^х (1/2)^х уравнение с дробями методы решения уравнений алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения (1/4)^x - 3*(1/2)^x + 2 = 0, начнем с того, что упростим выражение, используя замену переменной.

Обратите внимание, что (1/4) можно представить как (1/2)^2. Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

(1/2)^(2x) - 3*(1/2)^x + 2 = 0.

Теперь сделаем замену: пусть y = (1/2)^x. Тогда (1/2)^(2x) = y^2. Теперь у нас есть квадратное уравнение:

y^2 - 3y + 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

• Корни уравнения ax^2 + bx + c = 0 находятся по формуле: y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В нашем случае a = 1, b = -3, c = 2. Подставим эти значения в формулу:

1. Вычисляем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1.
2. Теперь находим корни: y1 = (3 + √1) / 2*1 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2.
3. y2 = (3 - √1) / 2*1 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1.

Таким образом, мы получили два значения для y: y1 = 2 и y2 = 1.

Теперь вернемся к нашей замене y = (1/2)^x:

• Для y1 = 2: (1/2)^x = 2. Это уравнение не имеет решения, так как (1/2)^x всегда положительно и не может равняться 2.
• Для y2 = 1: (1/2)^x = 1. Это уравнение имеет решение, так как (1/2)^0 = 1. Значит, x = 0.

Таким образом, единственным решением данного уравнения является:

x = 0.