Как можно решить уравнение 9^(√(x-5)) - 27 = 6 • 3^(√(x-5))?

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 9^(√(x-5)) 27 = 6 • 3^(√(x-5)) методы решения уравнений квадратные корни алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 9^(√(x-5)) - 27 = 6 • 3^(√(x-5)), начнем с упрощения его. Заметим, что 9 и 27 можно выразить через основание 3:

• 9 = 3^2, поэтому 9^(√(x-5)) = (3^2)^(√(x-5)) = 3^(2√(x-5)).
• 27 = 3^3.

Теперь подставим это в уравнение:

3^(2√(x-5)) - 3^3 = 6 • 3^(√(x-5))

Теперь упростим уравнение:

3^(2√(x-5)) - 27 = 6 • 3^(√(x-5))

Переносим все слагаемые на одну сторону:

3^(2√(x-5)) - 6 • 3^(√(x-5)) - 27 = 0

Теперь сделаем замену: пусть y = 3^(√(x-5)). Тогда 3^(2√(x-5)) = y^2. Подставим это в уравнение:

y^2 - 6y - 27 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 1, b = -6, c = -27.

• Сначала найдем дискриминант: D = (-6)^2 - 4 * 1 * (-27) = 36 + 108 = 144.
• Теперь подставим в формулу: y = (6 ± √144) / 2 = (6 ± 12) / 2.

Теперь найдем два значения для y:

• y1 = (6 + 12) / 2 = 18 / 2 = 9.
• y2 = (6 - 12) / 2 = -6 / 2 = -3.

Поскольку y = 3^(√(x-5)), y не может быть отрицательным, поэтому мы оставляем только y1 = 9.

Теперь вернемся к нашей замене:

3^(√(x-5)) = 9.

Мы знаем, что 9 = 3^2, следовательно:

√(x-5) = 2.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

x - 5 = 4.

И решим это уравнение:

x = 4 + 5 = 9.

Таким образом, решением уравнения является x = 9.

Не забудьте проверить, подставив значение x обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно верно.