Чтобы решить уравнение 3cos(2x) - 6sin(x) - 2 = 0, мы можем использовать тригонометрические преобразования и методы решения уравнений. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Преобразование уравнения: Начнем с преобразования косинуса двойного угла. Формула косинуса двойного угла: cos(2x) = 2cos²(x) - 1. Подставим эту формулу в уравнение:

   • 3cos(2x) = 3(2cos²(x) - 1) = 6cos²(x) - 3

   Теперь уравнение становится:

   6cos²(x) - 3 - 6sin(x) - 2 = 0

2. Упрощение уравнения: Упростим уравнение:

   6cos²(x) - 6sin(x) - 5 = 0

3. Замена переменных: Чтобы упростить решение, используем основное тригонометрическое тождество: cos²(x) = 1 - sin²(x). Подставим его в уравнение:

   • 6(1 - sin²(x)) - 6sin(x) - 5 = 0

   Раскроем скобки и упростим уравнение:

   6 - 6sin²(x) - 6sin(x) - 5 = 0

   Получаем:

   -6sin²(x) - 6sin(x) + 1 = 0

4. Решение квадратного уравнения: Это квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим sin(x) через t, тогда уравнение станет:

   -6t² - 6t + 1 = 0

   Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

   D = (-6)² - 4*(-6)*1 = 36 + 24 = 60

   Корни уравнения:

   • t₁ = (-(-6) + √60) / (2*(-6)) = (6 + √60) / (-12)
   • t₂ = (-(-6) - √60) / (2*(-6)) = (6 - √60) / (-12)

   Упростим корни:

   • t₁ = (6 + √60) / (-12)
   • t₂ = (6 - √60) / (-12)

5. Проверка значений: Поскольку t = sin(x), значения должны находиться в пределах [-1, 1]. Проверим, какие корни удовлетворяют этому условию:

   Рассчитаем численные значения корней и проверим их:

   • t₁ ≈ -0.183
   • t₂ ≈ 0.917

   Оба значения находятся в допустимом диапазоне.

6. Нахождение x: Теперь найдем x для каждого значения t:

   • Для t₁ = -0.183: x = arcsin(-0.183) + 2πk и x = π - arcsin(-0.183) + 2πk, где k — целое число.
   • Для t₂ = 0.917: x = arcsin(0.917) + 2πk и x = π - arcsin(0.917) + 2πk, где k — целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения в зависимости от значений sin(x). Если есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь задавать их!