Как можно решить уравнение 3sin²(3x)+10sin(3x)cos(3x)+3cos²(3x)=0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические уравнение алгебра 11 класс синус косинус Тригонометрия решение уравнения математические методы Новый

Чтобы решить уравнение 3sin²(3x) + 10sin(3x)cos(3x) + 3cos²(3x) = 0, начнем с упрощения его вида. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность, которая связывает синус и косинус:

• sin²(θ) + cos²(θ) = 1

В нашем случае, давайте обозначим y = sin(3x). Тогда cos(3x) = sqrt(1 - y²). Подставим это в уравнение:

Теперь у нас есть:

• 3y² + 10y * sqrt(1 - y²) + 3(1 - y²) = 0

Упростим это уравнение:

• 3y² + 10y * sqrt(1 - y²) + 3 - 3y² = 0
• 10y * sqrt(1 - y²) + 3 = 0

Теперь выразим sqrt(1 - y²):

• 10y * sqrt(1 - y²) = -3
• sqrt(1 - y²) = -3 / (10y)

Так как sqrt(1 - y²) не может быть отрицательным, это уравнение имеет решение только для положительных значений y. Следовательно, мы можем рассмотреть только случай, когда:

• 10y * sqrt(1 - y²) = 3

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

• (10y)² * (1 - y²) = 9
• 100y² * (1 - y²) = 9

Раскроем скобки:

• 100y² - 100y^4 = 9

Перепишем уравнение:

• 100y^4 - 100y² + 9 = 0

Теперь сделаем замену z = y²:

• 100z² - 100z + 9 = 0

Это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• z = (-b ± sqrt(b² - 4ac)) / 2a

Подставляем a = 100, b = -100, c = 9:

• z = (100 ± sqrt((-100)² - 4 * 100 * 9)) / (2 * 100)
• z = (100 ± sqrt(10000 - 3600)) / 200
• z = (100 ± sqrt(6400)) / 200
• z = (100 ± 80) / 200

Теперь находим два корня:

• z1 = (180) / 200 = 0.9
• z2 = (20) / 200 = 0.1

Теперь вернемся к y:

• y² = 0.9 => y = ±sqrt(0.9)
• y² = 0.1 => y = ±sqrt(0.1)

Теперь, зная значения y, мы можем найти sin(3x):

• sin(3x) = sqrt(0.9) или sin(3x) = -sqrt(0.9)
• sin(3x) = sqrt(0.1) или sin(3x) = -sqrt(0.1)

Теперь, используя арксинус, находим значения 3x:

• 3x = arcsin(sqrt(0.9)) + 2kπ
• 3x = π - arcsin(sqrt(0.9)) + 2kπ
• 3x = arcsin(-sqrt(0.9)) + 2kπ
• 3x = π - arcsin(-sqrt(0.9)) + 2kπ
• 3x = arcsin(sqrt(0.1)) + 2kπ
• 3x = π - arcsin(sqrt(0.1)) + 2kπ
• 3x = arcsin(-sqrt(0.1)) + 2kπ
• 3x = π - arcsin(-sqrt(0.1)) + 2kπ

Теперь, делим все уравнения на 3, чтобы найти x:

• x = (1/3)arcsin(sqrt(0.9)) + (2kπ)/3
• x = (1/3)(π - arcsin(sqrt(0.9))) + (2kπ)/3
• x = (1/3)arcsin(-sqrt(0.9)) + (2kπ)/3
• x = (1/3)(π - arcsin(-sqrt(0.9))) + (2kπ)/3
• x = (1/3)arcsin(sqrt(0.1)) + (2kπ)/3
• x = (1/3)(π - arcsin(sqrt(0.1))) + (2kπ)/3
• x = (1/3)arcsin(-sqrt(0.1)) + (2kπ)/3
• x = (1/3)(π - arcsin(-sqrt(0.1))) + (2kπ)/3

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения.