Как можно решить уравнение 3sin²3x–2,5sin6x+1=0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения синус математические методы уравнение 3sin²3x 2,5sin6x алгебраические задачи подготовка к экзамену учебник по алгебре Новый

Для решения уравнения 3sin²3x - 2,5sin6x + 1 = 0 начнем с упрощения и преобразования уравнения.

1. Обратите внимание, что sin6x можно выразить через sin3x. Используем формулу двойного угла:

• sin6x = sin(2 * 3x) = 2sin3x * cos3x.

2. Обозначим y = sin3x. Тогда у нас получится:

• sin6x = 2y * cos3x.

3. Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

3y² - 2,5(2y * cos3x) + 1 = 0.

4. Упростим уравнение:

• 3y² - 5y * cos3x + 1 = 0.

5. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 3, b = -5cos3x, c = 1.

6. Подставим значения a, b и c в формулу:

• y = (5cos3x ± √((-5cos3x)² - 4 * 3 * 1)) / (2 * 3).

7. Упростим выражение под корнем:

• y = (5cos3x ± √(25cos²3x - 12)) / 6.

8. Теперь у нас есть выражение для y (то есть sin3x). Однако, чтобы найти x, необходимо решить уравнение:

• sin3x = (5cos3x ± √(25cos²3x - 12)) / 6.

9. После нахождения значений y, вернемся к переменной x. Для этого используем обратную функцию синуса:

• 3x = arcsin(y).

10. Не забудьте учесть, что синус имеет период 2π, поэтому:

• x = (arcsin(y) + 2kπ) / 3, где k - целое число.
• или x = (π - arcsin(y) + 2kπ) / 3.

11. В итоге, подставив все найденные значения y, вы сможете получить все возможные значения x.

Таким образом, мы решили данное уравнение, преобразовав его и используя свойства тригонометрических функций.