Как можно решить уравнение 3sin²x - 5sinx - 2 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус уравнение математические методы алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 3sin²x - 5sinx - 2 = 0, мы можем воспользоваться заменой переменной. Давайте обозначим sinx как t. Таким образом, уравнение примет вид:

3t² - 5t - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 3
• b = -5
• c = -2

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

1. Сначала найдем дискриминант (D):
2. D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49
3. Теперь найдем корни t:
4. t₁ = (5 + √49) / (2 * 3) = (5 + 7) / 6 = 12 / 6 = 2
5. t₂ = (5 - √49) / (2 * 3) = (5 - 7) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Таким образом, мы получили два значения для t:

• t₁ = 2
• t₂ = -1/3

Теперь вернемся к нашей замене sinx = t:

• Для t₁ = 2: у нас нет решения, так как значение синуса не может превышать 1.
• Для t₂ = -1/3: мы можем найти значения x.

Теперь решим уравнение:

sinx = -1/3

Решение этого уравнения можно найти, используя арксинус:

• x = arcsin(-1/3) + 2πk, где k - целое число (для первой ветви).
• Также учитываем, что синус отрицателен в третьем и четвертом квадранте:
• x = π + arcsin(-1/3) + 2πk (для третьего квадранта).
• x = 2π - arcsin(-1/3) + 2πk (для четвертого квадранта).

Таким образом, окончательные решения уравнения 3sin²x - 5sinx - 2 = 0 будут:

• x = arcsin(-1/3) + 2πk
• x = π + arcsin(-1/3) + 2πk
• x = 2π - arcsin(-1/3) + 2πk

Не забудьте, что k - любое целое число, так как синус является периодической функцией с периодом 2π.