Как можно решить уравнение 4*3 в степени 2х - 9*2 в степени 2х = 5*6 в степени х?

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 4*3 в степени уравнение 9*2 в степени уравнение 5*6 в степени методы решения уравнений алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 4 * 3^(2x) - 9 * 2^(2x) = 5 * 6^x начнем с упрощения и преобразования выражений. Обратите внимание на то, что 6 можно представить как произведение 2 и 3. Таким образом, 6^x = 2^x * 3^x.

Теперь перепишем уравнение с использованием этого представления:

• 4 * 3^(2x) - 9 * 2^(2x) = 5 * (2^x * 3^x)

Далее, заметим, что 3^(2x) = (3^x)^2 и 2^(2x) = (2^x)^2. Введем обозначения:

• a = 2^x
• b = 3^x

Теперь уравнение можно переписать так:

• 4b^2 - 9a^2 = 5ab

Это уравнение является квадратным по отношению к b. Перепишем его в стандартной форме:

• 4b^2 - 5ab - 9a^2 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения b = (-B ± √(B² - 4AC)) / 2A, где:

• A = 4
• B = -5a
• C = -9a^2

Подставим эти значения в формулу:

• b = (5a ± √((-5a)² - 4 * 4 * (-9a^2))) / (2 * 4)

Теперь вычислим дискриминант:

• D = 25a² + 144a² = 169a²

Теперь подставим значение дискриминанта в формулу:

• b = (5a ± 13a) / 8

Таким образом, у нас есть два случая:

1. b = (18a) / 8 = (9a) / 4
2. b = (-8a) / 8 = -a

Первый случай:

• 3^x = (9/4) * 2^x
• (3/2)^x = 9/4
• x * log(3/2) = log(9/4)
• x = log(9/4) / log(3/2)

Второй случай:

• 3^x = -2^x

Этот случай не имеет решения, так как обе функции положительны для всех x.

Таким образом, окончательное решение уравнения:

• x = log(9/4) / log(3/2)