Как можно решить уравнение 4 + 5cos(x) - 2sin²(x) = 0, используя метод подстановки для 11 класса?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения метод подстановки алгебра 11 класс тригонометрические функции синус косинус уравнение Новый

Для решения уравнения 4 + 5cos(x) - 2sin²(x) = 0 с помощью метода подстановки, мы можем использовать тригонометрические тождества. В частности, мы будем использовать тождество, связывающее sin²(x) и cos²(x):

sin²(x) + cos²(x) = 1. Это означает, что sin²(x) = 1 - cos²(x).

Теперь давайте следовать шагам решения:

1. Подставим sin²(x) в уравнение:

Мы заменим sin²(x) на (1 - cos²(x)):

4 + 5cos(x) - 2(1 - cos²(x)) = 0.

2. Упростим уравнение:

Раскроем скобки:

4 + 5cos(x) - 2 + 2cos²(x) = 0.

Теперь упростим:

2 + 5cos(x) + 2cos²(x) = 0.

3. Перепишем уравнение в стандартной форме:

2cos²(x) + 5cos(x) + 2 = 0.

4. Решим квадратное уравнение:

Это уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a = 2, b = 5, c = 2.

Используем дискриминант D = b² - 4ac:

D = 5² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Так как D > 0, у нас есть два различных корня.

5. Находим корни:

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

cos(x) = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем значения:

cos(x) = (-5 ± √9) / (2 * 2) = (-5 ± 3) / 4.

Теперь найдем два корня:

• cos(x) = (-5 + 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2;
• cos(x) = (-5 - 3) / 4 = -8 / 4 = -2.
6. Решим для cos(x) = -1/2:

cos(x) = -1/2 дает следующие углы:

x = 2π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ, где k – целое число.

7. Решим для cos(x) = -2:

cos(x) = -2 не имеет решения, так как значение косинуса не может превышать 1 по модулю.

8. Запишем окончательные ответы:

Таким образом, мы получаем, что:

x = 2π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ, где k – целое число.

Это и есть решение данного уравнения с использованием метода подстановки!