Как можно решить уравнение 4cos^2x - 4cos x - 3 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 11 класс 4cos^2x 4cos x уравнение 4cos^2x - 4cos x - 3 = 0 Новый

Чтобы решить уравнение 4cos^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0, начнем с того, что это квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте обозначим cos(x) как t. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

4t^2 - 4t - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 4
• b = -4
• c = -3

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

t = (4 ± √((-4)² - 4 * 4 * (-3))) / (2 * 4)

Посчитаем дискриминант:

D = (-4)² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

t = (4 ± √64) / 8

Так как √64 = 8, мы получаем:

t = (4 ± 8) / 8

Теперь найдем два корня:

• Первый корень: t1 = (4 + 8) / 8 = 12 / 8 = 1.5
• Второй корень: t2 = (4 - 8) / 8 = -4 / 8 = -0.5

Теперь у нас есть два значения для t (cos(x)):

• t1 = 1.5
• t2 = -0.5

Однако, значение cos(x) не может быть больше 1, поэтому корень t1 = 1.5 не подходит. Оставляем только t2 = -0.5.

Теперь найдем x, используя уравнение:

cos(x) = -0.5

Значения x, для которых cos(x) = -0.5, находятся в следующих квадрантах:

• x = 2π/3 + 2kπ (где k - целое число, соответствует первому корню)
• x = 4π/3 + 2kπ (где k - целое число, соответствует второму корню)

Таким образом, общее решение уравнения 4cos^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0 будет:

x = 2π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ, где k - целое число.