Как можно решить уравнение 4sinx + cosx = 4? Прошу расписать решение подробно :) Спасибо.

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс 4sinx + cosx = 4 подробное решение уравнения тригонометрические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 4sinx + cosx = 4, начнем с того, что из этого уравнения мы можем выразить одну из тригонометрических функций через другую. Давайте попробуем выразить cosx через sinx.

Для этого сначала перенесем cosx на правую сторону уравнения:

1. 4sinx = 4 - cosx.

Теперь, чтобы выразить cosx, сделаем следующее:

1. cosx = 4 - 4sinx.

Теперь мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

sin²x + cos²x = 1.

Подставим выражение для cosx в это тождество:

1. sin²x + (4 - 4sinx)² = 1.

Теперь раскроем квадрат:

1. (4 - 4sinx)² = 16 - 32sinx + 16sin²x.

Теперь подставим это обратно в уравнение:

1. sin²x + 16 - 32sinx + 16sin²x = 1.

Объединим подобные члены:

1. 17sin²x - 32sinx + 15 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Мы можем решить его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

В нашем случае:

• a = 17,
• b = -32,
• c = 15.

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

1. D = (-32)² - 4 * 17 * 15 = 1024 - 1020 = 4.
2. Теперь находим корни:
3. sinx = (32 ± √4) / (2 * 17) = (32 ± 2) / 34.

Таким образом, у нас есть два значения:

1. sinx = (32 + 2) / 34 = 34 / 34 = 1,
2. sinx = (32 - 2) / 34 = 30 / 34 = 15 / 17.

Теперь найдем значения x для каждого из этих случаев.

1. Для sinx = 1:

Это значение достигается при:

• x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

2. Для sinx = 15/17:

Для нахождения x можем использовать арксинус:

• x = arcsin(15/17) + 2kπ,
• x = π - arcsin(15/17) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения 4sinx + cosx = 4:

• x = π/2 + 2kπ,
• x = arcsin(15/17) + 2kπ,
• x = π - arcsin(15/17) + 2kπ, где k - целое число.

Это и есть окончательный ответ на ваше уравнение. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!