Как можно решить уравнение: 6cosxsinx=5cos2x?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos и sin cos2x уравнение с косинусом уравнение с синусом Новый

Чтобы решить уравнение 6cos(x)sin(x) = 5cos(2x), давайте сначала вспомним некоторые тригонометрические тождества.

Во-первых, мы можем использовать тождество для косинуса двойного угла:

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x) - 1 = 1 - 2sin²(x)

Также мы можем воспользоваться тем, что 2sin(x)cos(x) = sin(2x). Таким образом, 6cos(x)sin(x) можно переписать как:

6cos(x)sin(x) = 3sin(2x)

Теперь подставим это в уравнение:

3sin(2x) = 5cos(2x)

Теперь мы можем разделить обе стороны на cos(2x), при условии, что cos(2x) не равно нулю:

3tan(2x) = 5

Теперь выразим tan(2x):

tan(2x) = 5/3

Теперь мы можем найти 2x, используя арктангенс:

2x = arctan(5/3) + kπ, где k - целое число

Теперь, чтобы найти x, делим обе стороны на 2:

x = (1/2)arctan(5/3) + kπ/2

Теперь нам нужно учесть, что арктангенс может принимать значения в диапазоне от -π/2 до π/2, поэтому мы можем записать общий вид решения:

x = (1/2)arctan(5/3) + kπ/2, где k - целое число

Теперь, если cos(2x) = 0, то 2x = (2n + 1)π/2, где n - целое число. Это также дает дополнительные решения для x:

x = (2n + 1)π/4, где n - целое число

Таким образом, полное множество решений данного уравнения будет состоять из:

• x = (1/2)arctan(5/3) + kπ/2, где k - целое число
• x = (2n + 1)π/4, где n - целое число