Как можно решить уравнение: 7sin2x + 5sinx = 2 - 5cos2x?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус и косинус уравнение с синусом алгебраические методы изучение тригонометрии Новый

Для решения уравнения 7sin(2x) + 5sin(x) = 2 - 5cos(2x) начнем с преобразования и упрощения обеих сторон уравнения.

Шаг 1: Преобразуем косинус в синус.

Мы знаем, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x). Подставим это в уравнение:

• cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) => -5cos(2x) = -5(1 - 2sin^2(x)) = -5 + 10sin^2(x).

Теперь подставим это в уравнение:

• 7sin(2x) + 5sin(x) = 2 - 5 + 10sin^2(x).

Упрощаем:

• 7sin(2x) + 5sin(x) = -3 + 10sin^2(x).

Шаг 2: Заменим sin(2x).

Также мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это:

• 7(2sin(x)cos(x)) + 5sin(x) = -3 + 10sin^2(x).

Упрощаем:

• 14sin(x)cos(x) + 5sin(x) = -3 + 10sin^2(x).

Шаг 3: Переносим все в одну сторону уравнения.

• 14sin(x)cos(x) + 5sin(x) - 10sin^2(x) + 3 = 0.

Шаг 4: Вводим замену.

Пусть y = sin(x). Тогда у нас получится:

• 14ycos(x) + 5y - 10y^2 + 3 = 0.

Теперь нам нужно выразить cos(x) через y. Мы знаем, что cos(x) = sqrt(1 - y^2). Подставим это значение:

• 14y(sqrt(1 - y^2)) + 5y - 10y^2 + 3 = 0.

Шаг 5: Решаем полученное уравнение.

Это уравнение может быть довольно сложным для решения, поэтому лучше всего использовать численные методы или графический подход для нахождения корней. Однако, если вы хотите получить аналитическое решение, вам нужно будет упростить его и решить относительно y.

Шаг 6: Найдем значения y.

После нахождения корней y, мы можем вернуться к исходной переменной x, используя обратные функции.

Таким образом, решение уравнения состоит из нескольких шагов, включая преобразование тригонометрических функций, замену переменной и решение полученного уравнения. Если у вас есть доступ к графическому калькулятору или программному обеспечению, это может значительно упростить процесс нахождения корней.