Чтобы решить уравнение cos 2x + 3 sin 2x = 0, мы можем следовать следующим шагам:

1. Перепишем уравнение так, чтобы выразить одну из тригонометрических функций через другую. Для этого из уравнения можно выразить cos 2x:
• cos 2x = -3 sin 2x
2. Теперь мы можем воспользоваться основным тригонометрическим соотношением, которое связывает sin и cos:
• sin^2(2x) + cos^2(2x) = 1
3. Подставим выражение для cos 2x в это соотношение:
• sin^2(2x) + (-3 sin 2x)^2 = 1
• sin^2(2x) + 9 sin^2(2x) = 1
• 10 sin^2(2x) = 1
• sin^2(2x) = 1/10
4. Теперь найдем sin 2x:
• sin 2x = ±√(1/10) = ±1/√10 = ±√10/10
5. Теперь, чтобы найти 2x, используем обратную функцию arcsin:
• 2x = arcsin(√10/10) + kπ, где k – целое число (так как синус имеет период 2π)
• 2x = π - arcsin(√10/10) + kπ
• 2x = arcsin(-√10/10) + kπ
• 2x = π - arcsin(-√10/10) + kπ
6. Теперь делим все уравнения на 2, чтобы найти x:
• x = (1/2)arcsin(√10/10) + kπ/2
• x = (1/2)(π - arcsin(√10/10)) + kπ/2
• x = (1/2)arcsin(-√10/10) + kπ/2
• x = (1/2)(π - arcsin(-√10/10)) + kπ/2

Таким образом, мы нашли все возможные значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению. Не забудьте, что k – это любое целое число, что позволяет нам находить бесконечное количество решений.