Как можно решить уравнение cos²x - 2cosx - 3 = 0?

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений решение уравнения cos2x 2cosx 3 = 0 алгебра 11 класс тригонометрические уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение cos²x - 2cosx - 3 = 0, давайте сначала сделаем замену переменной. Обозначим cosx как t. Тогда уравнение примет вид:

t² - 2t - 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -2
• c = -3

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

1. Сначала вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
2. Теперь найдем корни: t = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.
3. Это дает нам два решения:
   • t₁ = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
   • t₂ = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь вернемся к нашей замене. Мы получили два значения для t:

• t₁ = 3 (что невозможно, так как значение cosx не может превышать 1)
• t₂ = -1

Таким образом, единственное допустимое значение -1. Теперь найдем x:

cosx = -1.

Решение этого уравнения в пределах одного полного оборота (0 ≤ x < 2π) дает:

x = π

Также стоит отметить, что cosx = -1 повторяется с периодом 2π, поэтому общее решение будет:

x = π + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения cos²x - 2cosx - 3 = 0.