Как можно решить уравнение

cosx + cos3x = cos2x?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс cosx cos3x cos2x тригонометрические уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения cos(x) + cos(3x) = cos(2x) мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими преобразованиями. Давайте разберем шаги решения более подробно.

1. Перепишем уравнение:

   Начнем с уравнения:

   cos(x) + cos(3x) = cos(2x)

2. Используем формулы сложения косинусов:

   Для упрощения выражения можно использовать формулу для суммы косинусов:

   cos(a) + cos(b) = 2 * cos((a + b)/2) * cos((a - b)/2)

   В нашем случае a = x и b = 3x, тогда:

   cos(x) + cos(3x) = 2 * cos(2x) * cos(x)

3. Подставляем в уравнение:

   Теперь подставим это в наше уравнение:

   2 * cos(2x) * cos(x) = cos(2x)

4. Решаем полученное уравнение:

   Теперь мы можем упростить это уравнение:

   2 * cos(2x) * cos(x) - cos(2x) = 0

   Факторизуем:

   cos(2x) * (2 * cos(x) - 1) = 0

5. Находим корни:

   Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

   • Первый множитель:

     cos(2x) = 0

     Это уравнение имеет решения:

     2x = (2k + 1) * (π/2), где k - целое число.

     Следовательно, x = (2k + 1) * (π/4).

   • Второй множитель:

     2 * cos(x) - 1 = 0

     Решаем это уравнение:

     cos(x) = 1/2.

     Это уравнение имеет решения:

     x = (2n * π)/3 и x = (4n * π)/3, где n - целое число.

6. Итог:

   Таким образом, общее решение уравнения cos(x) + cos(3x) = cos(2x:

   • x = (2k + 1) * (π/4), k - целое число;
   • x = (2n * π)/3 и x = (4n * π)/3, n - целое число.

Если у вас есть вопросы по каждому из шагов, пожалуйста, задавайте!