Как можно решить уравнение sin^2(x) - 2sin(x)*cos(x) - 3cos^2(x) + 2 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции sin и cos уравнения с синусом уравнения с косинусом методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения sin^2(x) - 2sin(x)*cos(x) - 3cos^2(x) + 2 = 0, давайте начнем с преобразования выражения. Мы можем использовать известные тригонометрические тождества, а также замену переменных для упрощения уравнения.

Шаг 1: Замена переменных

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Это позволяет выразить sin^2(x) через cos^2(x):

• sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Теперь подставим это в уравнение:

1 - cos^2(x) - 2sin(x)*cos(x) - 3cos^2(x) + 2 = 0.

Упрощаем уравнение:

• 1 + 2 - 4cos^2(x) - 2sin(x)*cos(x) = 0,
• 3 - 4cos^2(x) - 2sin(x)*cos(x) = 0.

Шаг 2: Выразим sin(x) через cos(x)

Используем t = cos(x), тогда sin(x) = sqrt(1 - t^2) (или -sqrt(1 - t^2), в зависимости от квадранта). Подставим это в уравнение:

3 - 4t^2 - 2sqrt(1 - t^2)t = 0.

Шаг 3: Упростим уравнение

Для удобства, давайте уберем квадратный корень, возведя обе стороны в квадрат:

(3 - 4t^2)^2 = (2t*sqrt(1 - t^2))^2.

Это даст нам:

• (3 - 4t^2)^2 = 4t^2(1 - t^2).

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим

Раскроем обе стороны уравнения:

• 9 - 24t^2 + 16t^4 = 4t^2 - 4t^4.

Соберем все члены в одну сторону:

16t^4 + 4t^4 - 24t^2 - 4t^2 + 9 = 0.

Это упрощается до:

20t^4 - 28t^2 + 9 = 0.

Шаг 5: Замена переменной

Пусть z = t^2. Тогда уравнение примет вид:

20z^2 - 28z + 9 = 0.

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

• z = [28 ± sqrt(28^2 - 4*20*9)] / (2*20).

Считаем дискриминант:

• D = 28^2 - 4*20*9 = 784 - 720 = 64.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

• z = (28 ± 8) / 40.
• z1 = 36 / 40 = 0.9,
• z2 = 20 / 40 = 0.5.

Шаг 7: Найдем cos(x)

Теперь вернемся к переменной t:

• t^2 = 0.9 => t = ±sqrt(0.9) = ±0.9487,
• t^2 = 0.5 => t = ±sqrt(0.5) = ±0.7071.

Шаг 8: Найдем значения x

Теперь, зная cos(x), мы можем найти x:

• cos(x) = 0.9487 => x = arccos(0.9487) или x = 2π - arccos(0.9487),
• cos(x) = 0.7071 => x = arccos(0.7071) или x = 2π - arccos(0.7071).

Таким образом, у вас есть все необходимые шаги для решения данного уравнения. Не забудьте проверить все найденные значения x в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями.