Как можно решить уравнение sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0, используя замену переменной?

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений решение уравнения sin^2x 4sinxcosx 3cos^2x замена переменной алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0 мы можем использовать замену переменной. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам упростить это уравнение.

1. Сначала заметим, что мы можем выразить sin^2x и cos^2x через одну переменную. Воспользуемся заменой sinx = t, тогда cos^2x = 1 - sin^2x = 1 - t^2.

2. Подставим эту замену в уравнение:

   sin^2x = t^2, cos^2x = 1 - t^2, и sinxcosx = t * sqrt(1 - t^2).

   Таким образом, уравнение преобразуется в:

   t^2 - 4t * sqrt(1 - t^2) + 3(1 - t^2) = 0.

3. Упростим уравнение:

   • t^2 - 4t * sqrt(1 - t^2) + 3 - 3t^2 = 0
   • Соберем подобные:
   • -2t^2 - 4t * sqrt(1 - t^2) + 3 = 0.

4. Теперь выразим 4t * sqrt(1 - t^2):

   4t * sqrt(1 - t^2) = 3 - 2t^2.

5. Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   (4t)^2 * (1 - t^2) = (3 - 2t^2)^2.

6. После раскрытия скобок и упрощения мы получим уравнение относительно t.

7. Решив это уравнение, мы найдем значения t (или sinx). Не забудьте учесть, что t = sinx.

8. После нахождения значений sinx, мы можем найти соответствующие значения x с помощью обратной функции синуса, учитывая периодичность синуса:

   x = arcsin(t) + 2kπ и x = π - arcsin(t) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы можем решить уравнение, используя замену переменной и последующее нахождение значений переменной x через обратные тригонометрические функции.