Как можно решить уравнение sin²x - 3sinx cosx + 2cos²x = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции sin2x cos2x уравнения с синусом и косинусом Новый

Для решения уравнения sin²x - 3sinx cosx + 2cos²x = 0, давайте начнем с того, что упростим его, используя тригонометрические идентичности.

Шаг 1: Замена переменных

Мы можем сделать замену переменных, чтобы упростить уравнение. Обозначим:

• sin x = a
• cos x = b

Тогда, учитывая, что a² + b² = 1, мы можем переписать уравнение:

a² - 3ab + 2b² = 0.

Шаг 2: Подстановка b²

Мы знаем, что b² = 1 - a², тогда подставим это в уравнение:

a² - 3ab + 2(1 - a²) = 0.

Упрощаем это уравнение:

a² - 3ab + 2 - 2a² = 0.

Это приводит к:

-a² - 3ab + 2 = 0.

Умножим на -1:

a² + 3ab - 2 = 0.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно a:

a² + 3ab - 2 = 0.

Решим его по формуле для квадратных уравнений:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 3b, c = -2.

Подставляем значения:

a = (-3b ± √((3b)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1).

a = (-3b ± √(9b² + 8)) / 2.

Шаг 4: Найдем значения a

Теперь мы можем найти значения a, зная b. Однако, чтобы найти конкретные значения, нам нужно использовать тригонометрические функции.

Помним, что a = sin x и b = cos x.

Шаг 5: Решение системы уравнений

Теперь вернемся к исходному уравнению и попробуем его решить с помощью подстановки:

• sin x = a
• cos x = b

Также, чтобы найти значения x, мы можем использовать:

sin x = (-3cos x ± √(9cos²x + 8)) / 2.

Шаг 6: Упрощение

На этом этапе мы можем подставить cos x = b и решить уравнение для x, используя известные значения тригонометрических функций.

Шаг 7: Получение окончательных значений

После подстановки и упрощения, мы можем найти значения x в пределах одного полного оборота (от 0 до 2π) и затем, если необходимо, записать общее решение с учетом периодичности тригонометрических функций.

Таким образом, уравнение sin²x - 3sinx cosx + 2cos²x = 0 можно решить, используя замену переменных и тригонометрические идентичности. Не забудьте проверить полученные значения на соответствие исходному уравнению.