Как можно решить уравнение (tg2a - sin2a) * ctg2a = sin2a?

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений уравнение алгебра решение tg²a sin2a ctg2a Тригонометрия 11 класс Новый

Решим уравнение (tg(2a) - sin(2a)) * ctg(2a) = sin(2a) шаг за шагом.

1. Начнем с преобразования тригонометрических функций. Напомним, что:

• tg(2a) = sin(2a) / cos(2a)
• ctg(2a) = cos(2a) / sin(2a)

2. Подставим эти выражения в уравнение:

(sin(2a) / cos(2a) - sin(2a)) * (cos(2a) / sin(2a)) = sin(2a)

3. Упростим левую часть уравнения:

• Объединим дроби в первой части: sin(2a) / cos(2a) - sin(2a) = (sin(2a) - sin(2a) * cos(2a)) / cos(2a)
• Теперь подставим это обратно в уравнение:

[(sin(2a) - sin(2a) * cos(2a)) / cos(2a)] * (cos(2a) / sin(2a)) = sin(2a)

4. Упростим левую часть:

• cos(2a) в числителе и знаменателе сократится, если sin(2a) не равно 0:

sin(2a) - sin(2a) * cos(2a) = sin(2a)

5. Переносим все в одну сторону:

sin(2a) - sin(2a) * cos(2a) - sin(2a) = 0

6. Упростим это уравнение:

- sin(2a) * cos(2a) = 0

7. Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:

• sin(2a) = 0
• cos(2a) = 0

8. Решим каждое из этих уравнений:

Для sin(2a) = 0:

• 2a = n * π, где n - целое число.
• Следовательно, a = n * π / 2.

Для cos(2a) = 0:

• 2a = (2n + 1) * π / 2, где n - целое число.
• Следовательно, a = (2n + 1) * π / 4.

9. Таким образом, общее решение уравнения:

• a = n * π / 2 (n - целое число)
• a = (2n + 1) * π / 4 (n - целое число)

Это и есть все возможные решения данного уравнения.