Как можно решить уравнение, в котором корень кубический из 1 плюс x в четвертой степени равен корню кубическому из 1 плюс x в квадрате?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями уравнение корень кубический алгебра 11 класс решение уравнения x в четвертой степени X в квадрате Новый

Рассмотрим уравнение:

√(1 + x^4) = √(1 + x^2)

Чтобы решить это уравнение, начнем с того, что уберем кубические корни, возведя обе стороны в куб:

1. Возведем обе стороны в куб:
(√(1 + x^4))^3 = (√(1 + x^2))^3
2. Это упростится до:
1 + x^4 = 1 + x^2

Теперь мы можем упростить уравнение, вычитая 1 из обеих сторон:

x^4 = x^2

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Переносим все на одну сторону:

x^4 - x^2 = 0

Теперь мы можем вынести общий множитель:

x^2(x^2 - 1) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

• Первый множитель: x^2 = 0. Это дает нам решение x = 0.
• Второй множитель: x^2 - 1 = 0. Это уравнение можно решить так:
• Добавим 1 к обеим сторонам: x^2 = 1.
• Теперь извлечем корень из обеих сторон: x = ±1.

Таким образом, у нас есть три решения:

x = 0, x = 1, x = -1

Теперь давайте проверим каждое из решений, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями:

• Для x = 0: √(1 + 0^4) = √(1 + 0^2) → √1 = √1, верно.
• Для x = 1: √(1 + 1^4) = √(1 + 1^2) → √2 = √2, верно.
• Для x = -1: √(1 + (-1)^4) = √(1 + (-1)^2) → √2 = √2, верно.

Все три значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: x = 0, x = 1, x = -1.