Как можно решить уравнение: x = 5 + 4√x?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 11 класс уравнение x = 5 + 4√x методы решения уравнений квадратные корни алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение x = 5 + 4√x, следуем следующим шагам:

1. Переносим все члены уравнения в одну сторону:

   Мы можем переписать уравнение в следующем виде:

   x - 4√x - 5 = 0
2. Замена переменной:

   Для упрощения решения, сделаем замену переменной. Обозначим y = √x. Тогда x = y².

3. Подставляем в уравнение:

   Теперь подставим y в уравнение:

   y² - 4y - 5 = 0
4. Решаем квадратное уравнение:

   Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней:

   y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

   Здесь a = 1, b = -4, c = -5. Подставляем значения:

   • b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

   Теперь подставляем в формулу:

   y = (4 ± √36) / 2
   • y = (4 ± 6) / 2

   Это дает нам два возможных значения:

   • y₁ = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5
   • y₂ = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1
5. Возвращаемся к x:

   Теперь, помним, что y = √x. Мы должны найти x для каждого значения y.

   • Если y₁ = 5, то √x = 5, следовательно, x = 5² = 25.
   • Если y₂ = -1, то √x = -1. Это значение не имеет смысла, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
6. Итак, окончательное решение:

   Единственное допустимое решение уравнения:

   x = 25.

Таким образом, мы нашли, что x = 25 является решением уравнения x = 5 + 4√x.