Для того чтобы решить выражение 4.1 sin150 + cos120 + tg135 + gtg 225, давайте разберем каждую тригонометрическую функцию по отдельности.

• sin 150°: Значение синуса 150° можно найти, зная, что 150° находится во втором квадранте. В этом квадранте синус положителен. Мы можем использовать соотношение:
• sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2.
• cos 120°: Значение косинуса 120° также можно найти, зная, что 120° находится во втором квадранте. В этом квадранте косинус отрицателен:
• cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60° = -1/2.
• tg 135°: Тангенс 135° также находится во втором квадранте, где тангенс отрицателен:
• tg 135° = tg(180° - 45°) = -tg 45° = -1.
• gtg 225°: Обратный тангенс (котангенс) 225° находится в третьем квадранте, где котангенс положителен:
• gtg 225° = gtg(180° + 45°) = -tg 45° = -1.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

4.1 * sin 150° + cos 120° + tg 135° + gtg 225° = 4.1 * (1/2) + (-1/2) + (-1) + (-1).

Посчитаем по шагам:

1. 4.1 * (1/2) = 2.05.
2. Теперь подставим: 2.05 + (-1/2) = 2.05 - 0.5 = 1.55.
3. Далее: 1.55 + (-1) = 1.55 - 1 = 0.55.
4. И последнее: 0.55 + (-1) = 0.55 - 1 = -0.45.

Ответ: Значение выражения 4.1 sin150 + cos120 + tg135 + gtg 225 равно -0.45.