Как можно упростить функцию y=sin(pi-x/2)*sin(pi/2+x)-cos(2pi-x/2)*cos(3pi/2+x), чтобы потом построить её график?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их преобразования упрощение функции график функции алгебра 11 класс тригонометрические функции синус и косинус Новый

Чтобы упростить функцию y = sin(pi - x/2) * sin(pi/2 + x) - cos(2pi - x/2) * cos(3pi/2 + x), давайте разберем каждое слагаемое по отдельности, используя тригонометрические тождества.

Шаг 1: Упрощение первого слагаемого

• Используем тождество: sin(pi - a) = sin(a).
• Заменяем sin(pi - x/2) на sin(x/2):
• Таким образом, первое слагаемое упрощается до sin(x/2) * sin(pi/2 + x).
• Теперь используем тождество: sin(pi/2 + a) = cos(a):
• Получаем: sin(x/2) * cos(x).

Шаг 2: Упрощение второго слагаемого

• Используем тождество: cos(2pi - a) = cos(a).
• Заменяем cos(2pi - x/2) на cos(x/2):
• Таким образом, второе слагаемое упрощается до cos(x/2) * cos(3pi/2 + x).
• Теперь используем тождество: cos(3pi/2 + a) = -sin(a):
• Получаем: cos(x/2) * (-sin(x)) = -cos(x/2) * sin(x).

Шаг 3: Объединение результатов

• Теперь у нас есть упрощенная функция:
• y = sin(x/2) * cos(x) + cos(x/2) * sin(x).
• Это можно записать как: y = sin(x/2) * cos(x) - cos(x/2) * sin(x).

Шаг 4: Применение тождества для синуса

• Мы можем использовать тождество для синуса: sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) = sin(a - b).
• Таким образом, получаем: y = sin(x/2 - x) = sin(-x/2).
• Используя свойство синуса: sin(-a) = -sin(a), получаем: y = -sin(x/2).

Теперь у нас есть упрощенная функция y = -sin(x/2). Это упростит построение графика функции, так как мы знаем, что график функции синуса имеет период 2π, а в данном случае его амплитуда остается 1, но он отражен относительно оси абсцисс.

Теперь вы можете построить график функции y = -sin(x/2) на интервале, который вас интересует. Например, на интервале от 0 до 4π, вы увидите, как функция колеблется между -1 и 0, с периодом 4π.