Как можно упростить выражение: 1 + tg²a / 1 + ctg²a? a - это угол альфа, чтобы не перепутали с чем-нибудь.

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции tg²a ctg2a угол альфа математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение (1 + tg²a) / (1 + ctg²a), давайте рассмотрим, что такое тангенс и котангенс. Напомним, что:

• tg a = sin a / cos a
• ctg a = cos a / sin a

Теперь мы можем выразить tg²a и ctg²a через синус и косинус:

• tg²a = (sin²a / cos²a)
• ctg²a = (cos²a / sin²a)

Теперь подставим эти выражения в исходное выражение:

(1 + tg²a) / (1 + ctg²a) = (1 + sin²a / cos²a) / (1 + cos²a / sin²a)

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

• В числителе: 1 + sin²a / cos²a = (cos²a + sin²a) / cos²a
• В знаменателе: 1 + cos²a / sin²a = (sin²a + cos²a) / sin²a

Согласно тригонометрической идентичности, sin²a + cos²a = 1. Поэтому мы можем упростить:

• Числитель: (cos²a + sin²a) / cos²a = 1 / cos²a
• Знаменатель: (sin²a + cos²a) / sin²a = 1 / sin²a

Теперь подставим это обратно в выражение:

(1 / cos²a) / (1 / sin²a)

Это равносильно:

(sin²a / cos²a) = tg²a

Таким образом, мы получили, что:

(1 + tg²a) / (1 + ctg²a) = tg²a

Ответ: tg²a.