Как можно упростить выражение (Sinα + Sin3α + Sin5α) / (Cosα + Cos3α + Cos5α)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции sin и cos математические выражения решение задач по алгебре Новый

Давайте упростим выражение (Sinα + Sin3α + Sin5α) / (Cosα + Cos3α + Cos5α) шаг за шагом.

Шаг 1: Используем формулы для суммы синусов и косинусов.

Мы можем воспользоваться формулами для суммы синусов и косинусов. Обратите внимание, что сумма синусов и косинусов может быть преобразована с использованием тригонометрических тождеств.

Шаг 2: Применяем формулы.

• Сначала рассмотрим числитель: Sinα + Sin3α + Sin5α.
• Здесь можно использовать формулу для суммы синусов: SinA + SinB = 2 * Sin((A+B)/2) * Cos((A-B)/2).

Применим эту формулу к Sinα и Sin5α:

• Sinα + Sin5α = 2 * Sin((α + 5α)/2) * Cos((5α - α)/2) = 2 * Sin(3α) * Cos(2α).

Теперь добавим Sin3α:

• Итак, Sinα + Sin3α + Sin5α = 2 * Sin(3α) * Cos(2α) + Sin(3α) = Sin(3α) * (2 * Cos(2α) + 1).

Шаг 3: Аналогично упростим знаменатель.

• Теперь рассмотрим знаменатель: Cosα + Cos3α + Cos5α.
• Используем ту же формулу для суммы косинусов: CosA + CosB = 2 * Cos((A+B)/2) * Cos((A-B)/2).

Применим это к Cosα и Cos5α:

• Cosα + Cos5α = 2 * Cos((α + 5α)/2) * Cos((5α - α)/2) = 2 * Cos(3α) * Cos(2α).

Теперь добавим Cos3α:

• Таким образом, Cosα + Cos3α + Cos5α = 2 * Cos(3α) * Cos(2α) + Cos(3α) = Cos(3α) * (2 * Cos(2α) + 1).

Шаг 4: Подставляем обратно в выражение.

Теперь у нас есть:

• Числитель: Sin(3α) * (2 * Cos(2α) + 1),
• Знаменатель: Cos(3α) * (2 * Cos(2α) + 1).

Таким образом, мы можем записать выражение как:

(Sin(3α) * (2 * Cos(2α) + 1)) / (Cos(3α) * (2 * Cos(2α) + 1)).

Шаг 5: Упрощаем выражение.

Если 2 * Cos(2α) + 1 не равно нулю, мы можем сократить его:

Получаем: Tan(3α).

Ответ: Упрощенное выражение равно Tan(3α), при условии, что 2 * Cos(2α) + 1 не равно нулю.