Как можно упростить выражение tg(x/3 + Пи/4) + tg(x/3 - Пи/4?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции tg(x/3) tg(x/3 + Пи/4) tg(x/3 - Пи/4) Новый

Чтобы упростить выражение tg(x/3 + Пи/4) + tg(x/3 - Пи/4), воспользуемся формулами для суммы и разности тангенса. Напомним, что:

• tg(a + b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b))
• tg(a - b) = (tg(a) - tg(b)) / (1 + tg(a) * tg(b))

В нашем случае a = x/3 и b = Пи/4. Подставим значения в формулы:

1. Сначала найдем tg(Пи/4). Это значение равно 1, так как тангенс 45 градусов равен 1.
2. Теперь подставим это значение в формулы:
3. tg(x/3 + Пи/4) = (tg(x/3) + 1) / (1 - tg(x/3) * 1) = (tg(x/3) + 1) / (1 - tg(x/3)).
4. tg(x/3 - Пи/4) = (tg(x/3) - 1) / (1 + tg(x/3) * 1) = (tg(x/3) - 1) / (1 + tg(x/3)).

Теперь сложим оба выражения:

tg(x/3 + Пи/4) + tg(x/3 - Пи/4) = (tg(x/3) + 1) / (1 - tg(x/3)) + (tg(x/3) - 1) / (1 + tg(x/3)).

Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель, который равен (1 - tg(x/3))(1 + tg(x/3)). Теперь запишем сумму:

1. Числитель: (tg(x/3) + 1)(1 + tg(x/3)) + (tg(x/3) - 1)(1 - tg(x/3)).
2. Раскроем скобки:
3. (tg(x/3) + 1)(1 + tg(x/3)) = tg(x/3) + tg^2(x/3) + 1 + tg(x/3) = 2tg(x/3) + tg^2(x/3) + 1.
4. (tg(x/3) - 1)(1 - tg(x/3)) = tg(x/3) - tg^2(x/3) - 1 + tg(x/3) = 2tg(x/3) - tg^2(x/3) - 1.

Теперь объединим числители:

2tg(x/3) + tg^2(x/3) + 1 + 2tg(x/3) - tg^2(x/3) - 1 = 4tg(x/3).

Теперь запишем окончательное выражение:

tg(x/3 + Пи/4) + tg(x/3 - Пи/4) = 4tg(x/3) / ((1 - tg(x/3))(1 + tg(x/3))).

Таким образом, мы упростили выражение до:

4tg(x/3) / (1 - tg^2(x/3)).

Это и есть окончательный результат упрощения данного выражения.