Как можно вычислить площадь области, заключенной между графиками функций y=2/x и y=3-x?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области графики функций y=2/x y=3-x алгебра 11 класс вычисление площади интегралы пересечение графиков Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между графиками функций y = 2/x и y = 3 - x, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти точки пересечения графиков

Сначала нужно найти точки, в которых графики двух функций пересекаются. Для этого приравняем функции друг к другу:

2/x = 3 - x

Умножим обе стороны уравнения на x (при условии, что x не равен 0):

1. 2 = (3 - x) * x
2. 2 = 3x - x^2
3. 0 = x^2 - 3x + 2

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 3x + 2 = 0. Это уравнение можно разложить на множители:

(x - 1)(x - 2) = 0

Таким образом, мы получаем два корня:

x = 1 и x = 2.

Шаг 2: Определить, какая функция выше

Теперь нужно определить, какая из функций находится выше на отрезке [1, 2]. Для этого подставим значения x = 1 и x = 2 в обе функции:

• Для x = 1: y = 2/1 = 2 и y = 3 - 1 = 2. (Они равны)
• Для x = 2: y = 2/2 = 1 и y = 3 - 2 = 1. (Они также равны)

На отрезке между 1 и 2, функции пересекаются в этих точках, но чтобы определить, какая функция выше, можно взять любое значение x между 1 и 2, например, x = 1.5:

• y = 2/1.5 ≈ 1.33
• y = 3 - 1.5 = 1.5

Таким образом, на отрезке (1, 2) функция y = 3 - x находится выше функции y = 2/x.

Шаг 3: Вычислить площадь между графиками

Теперь, когда мы знаем, что y = 3 - x выше y = 2/x на интервале [1, 2], можем вычислить площадь между графиками. Площадь можно найти по следующей формуле:

Площадь = интеграл от 1 до 2 (верхняя функция - нижняя функция) dx:

Площадь = ∫(3 - x - 2/x)dx от 1 до 2.

Шаг 4: Вычислить интеграл

Теперь найдем интеграл:

∫(3 - x - 2/x)dx = ∫3dx - ∫xdx - ∫(2/x)dx.

Вычислим каждый из интегралов:

• ∫3dx = 3x,
• ∫xdx = (1/2)x^2,
• ∫(2/x)dx = 2ln|x|.

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = [3x - (1/2)x^2 - 2ln|x|] от 1 до 2.

Подставим x = 2:

Площадь(2) = 3*2 - (1/2)*2^2 - 2ln(2) = 6 - 2 - 2ln(2) = 4 - 2ln(2).

Теперь подставим x = 1:

Площадь(1) = 3*1 - (1/2)*1^2 - 2ln(1) = 3 - 0.5 - 0 = 2.5.

Теперь вычтем значение при x = 1 из значения при x = 2:

Площадь = (4 - 2ln(2)) - 2.5 = 1.5 - 2ln(2).

Ответ:

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками функций y = 2/x и y = 3 - x, равна 1.5 - 2ln(2).