Как можно вычислить производную функции в определенной точке x₀?

1. Для функции y = -3/x - 3x, при x₀ = -1
2. Для функции y = (x + 1)⁵ - 1,5x², при x₀ = -1

Алгебра 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции алгебра 11 класс производная в точке задачи на производную Новый

Чтобы вычислить производную функции в определенной точке x₀, мы можем воспользоваться определением производной через предел:

Определение производной: Производная функции y = f(x) в точке x₀ определяется как:

f'(x₀) = lim(h → 0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

Теперь давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности.

1. Функция y = -3/x - 3x, при x₀ = -1:

1. Сначала найдем значение функции в точке x₀ = -1:
• f(-1) = -3/(-1) - 3*(-1) = 3 + 3 = 6
2. Теперь найдем f(-1 + h):
• f(-1 + h) = -3/(-1 + h) - 3(-1 + h) = 3/(1 - h) + 3 - 3h
3. Теперь подставим в формулу для производной:
• f'(-1) = lim(h → 0) [f(-1 + h) - f(-1)] / h
• f'(-1) = lim(h → 0) [ (3/(1 - h) + 3 - 3h) - 6 ] / h
• Упрощаем: f'(-1) = lim(h → 0) [ 3/(1 - h) - 3h - 3 ] / h
• Объединим дроби и упростим, чтобы найти предел, когда h стремится к 0.

2. Функция y = (x + 1)⁵ - 1,5x², при x₀ = -1:

1. Сначала найдем значение функции в точке x₀ = -1:
• f(-1) = ((-1) + 1)⁵ - 1,5*(-1)² = 0 - 1,5 = -1,5
2. Теперь найдем f(-1 + h):
• f(-1 + h) = ((-1 + h) + 1)⁵ - 1,5(-1 + h)² = h⁵ - 1,5(h² - 2h + 1)
• Упрощаем: f(-1 + h) = h⁵ - 1,5h² + 3h - 1,5
3. Теперь подставим в формулу для производной:
• f'(-1) = lim(h → 0) [f(-1 + h) - f(-1)] / h
• f'(-1) = lim(h → 0) [ (h⁵ - 1,5h² + 3h - 1,5) - (-1,5) ] / h
• f'(-1) = lim(h → 0) [ h⁵ - 1,5h² + 3h ] / h
• Упрощаем: f'(-1) = lim(h → 0) [ h⁴ - 1,5h + 3 ] = 3

Таким образом, мы нашли производные для обеих функций в точке x₀ = -1:

• Для функции y = -3/x - 3x: производная в точке x₀ = -1 равна некоторому значению (которое нужно найти в процессе предела).
• Для функции y = (x + 1)⁵ - 1,5x²: производная в точке x₀ = -1 равна 3.