Как можно вычислить производную функции в заданной точке х0?

1. а) у = 3х^2, х0 = 1
2. б) у = cos x, x0 = p/6
3. в) y = -2 sin x, x0 = p/4

Алгебра 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции алгебра 11 класс производная в точке производная cos x производная sin x Новый

Чтобы вычислить производную функции в заданной точке, мы будем использовать определение производной и основные правила дифференцирования. Давайте рассмотрим каждый из случаев по отдельности.

а) у = 3х^2, х0 = 1

1. Сначала найдем производную функции у = 3х^2. Используем правило дифференцирования степенной функции, которое гласит, что производная x^n равна n*x^(n-1).
2. В нашем случае n = 2, поэтому производная будет равна:
   • у' = 3 * 2 * х^(2-1) = 6х.
3. Теперь подставим х0 = 1 в найденную производную:
   • у'(1) = 6 * 1 = 6.

Таким образом, производная функции у = 3х^2 в точке х0 = 1 равна 6.

б) у = cos x, x0 = p/6

1. Для функции у = cos x используем правило дифференцирования тригонометрических функций. Производная cos x равна -sin x.
2. Таким образом, производная будет:
   • у' = -sin x.
3. Теперь подставим x0 = p/6 в производную:
   • у'(p/6) = -sin(p/6).
4. Значение sin(p/6) равно 1/2, поэтому:
   • у'(p/6) = -1/2.

Таким образом, производная функции у = cos x в точке x0 = p/6 равна -1/2.

в) y = -2 sin x, x0 = p/4

1. Для функции y = -2 sin x сначала найдем производную. Производная sin x равна cos x, следовательно:
   • y' = -2 * cos x.
2. Теперь подставим x0 = p/4 в производную:
   • y'(p/4) = -2 * cos(p/4).
3. Значение cos(p/4) равно sqrt(2)/2, поэтому:
   • y'(p/4) = -2 * (sqrt(2)/2) = -sqrt(2).

Таким образом, производная функции y = -2 sin x в точке x0 = p/4 равна -sqrt(2).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!