Как можно вычислить производную функции в заданной точке, используя определение производной, и как можно понять полученный результат с геометрической и физической точек зрения? Рассмотрите следующие функции:

1. y = (x ^ 2 + 2)/(2x + 3) - 3 при x = 1
2. y = (x ^ 2 + 1)/(2x ^ 2 + 3x) при x = 3
3. y = (x ^ 3)/(3 * (x + 1) ^ 2) - 5, 2 при x = 1

Алгебра 11 класс Производная функции вычисление производной определение производной геометрическая интерпретация производной физическая интерпретация производной функции для производной производная в точке алгебра 11 класс производная y = (x^2 + 2)/(2x + 3) - 3 производная y = (x^2 + 1)/(2x^2 + 3x) производная y = (x^3)/(3(x + 1)^2) - 5 производная в алгебре Новый

Чтобы вычислить производную функции в заданной точке, мы будем использовать определение производной. Определение производной функции f(x) в точке x = a можно записать следующим образом:

f'(a) = lim(h → 0) [(f(a + h) - f(a)) / h]

Это означает, что мы берем значение функции в точке a + h, вычитаем значение функции в точке a и делим на h, после чего находим предел, когда h стремится к нулю.

Теперь давайте рассмотрим каждую из предложенных функций по порядку.

1. Функция: y = (x^2 + 2)/(2x + 3) - 3 при x = 1

1. Сначала найдем f(1):
• f(1) = (1^2 + 2)/(2*1 + 3) - 3 = (1 + 2)/(2 + 3) - 3 = 3/5 - 3 = 3/5 - 15/5 = -12/5.
2. Теперь найдем f(1 + h):
• f(1 + h) = ((1 + h)^2 + 2)/(2(1 + h) + 3) - 3.
• Раскроем скобки: f(1 + h) = ((1 + 2h + h^2) + 2)/(2 + 2h + 3) - 3 = (h^2 + 2h + 3)/(2h + 5) - 3.
3. Теперь подставим в формулу производной:
• f'(1) = lim(h → 0) [((h^2 + 2h + 3)/(2h + 5) - 3) - (-12/5)] / h.
• Упростим: = lim(h → 0) [((h^2 + 2h + 3)/(2h + 5) + 12/5)] / h.
• Вычисляем этот предел (возможно, потребуется приведение к общему знаменателю и дальнейшие упрощения).

2. Функция: y = (x^2 + 1)/(2x^2 + 3x) при x = 3

1. Сначала найдем f(3):
• f(3) = (3^2 + 1)/(2*3^2 + 3*3) = (9 + 1)/(18 + 9) = 10/27.
2. Теперь найдем f(3 + h):
• f(3 + h) = ((3 + h)^2 + 1)/(2(3 + h)^2 + 3(3 + h)).
• Раскроем скобки и упростим.
3. Подставим в формулу производной:
• f'(3) = lim(h → 0) [f(3 + h) - f(3)] / h.

3. Функция: y = (x^3)/(3 * (x + 1)^2) - 5.2 при x = 1

1. Сначала найдем f(1):
• f(1) = (1^3)/(3*(1 + 1)^2) - 5.2 = 1/(3*4) - 5.2 = 1/12 - 5.2.
2. Теперь найдем f(1 + h):
• f(1 + h) = ((1 + h)^3)/(3*(1 + h + 1)^2) - 5.2.
• Раскроем скобки и упростим.
3. Подставим в формулу производной:
• f'(1) = lim(h → 0) [f(1 + h) - f(1)] / h.

Теперь о геометрической и физической интерпретации полученного результата:

Геометрическая интерпретация: Производная в точке показывает наклон касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает.

Физическая интерпретация: Если функция описывает положение объекта во времени, производная будет показывать скорость этого объекта в данный момент времени.

В результате, производная дает нам представление о том, как функция изменяется в окрестности заданной точки, и позволяет анализировать ее поведение.